A equipe de gestão de energia de uma empresa de tração elétrica identificou a presença de multas da concessionária local por baixo fator de potência (FP) em uma de suas oficinas do grupo de média tensão (13,8 \mathrm{kVrms}). A oficina tem uma carga acoplada de 11,5 \mathrm{MVA} e FP =0,8 Para evitar multas e garantir o equilíbrio financeiro, optou-se pela implantação de um banco capacitivo ligado em paralelo à instalação para corrigir o FP para 0,92. Calcule o valor do capacitor necessário para a realização da correção do fator de potência.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a correção do fator de potência com um banco capacitivo ligado em paralelo:
  • Tensão de média tensão: \;13{,}8\\ \mathrm{kV_{rms}} (valor eficaz, presumivelmente tensão linha a linha).
  • Potência aparente da carga: \;11{,}5\\ \mathrm{MVA}.
  • Fator de potência inicial: \;\mathrm{FP}_1 = 0{,}8 (provavelmente indutivo/atrasado).
  • Fator de potência alvo: \;\mathrm{FP}_2 = 0{,}92.
  • Objetivo pedido: calcular “o valor do capacitor necessário” para levar o FP de 0{,}8 para 0{,}92.
Informações relevantes inferidas (não pedirei nada, apenas uso o que foi dado):
  • Vou calcular primeiro a potência reativa que o banco capacitivo deve suprir (kVAr). Este é o resultado normalmente pedido em projetos de correção de FP.
  • Se for necessário obter a capacitância (em farads ou µF), preciso também da frequência da rede e do esquema de ligação (estrela ou triângulo). Essas informações não foram fornecidas no enunciado; eu vou explicar a fórmula e, a título de exemplo, calcular a capacitância assumindo f=60\\ \mathrm{Hz} e dando valores para estrela e delta, deixando claro que isto é hipótese adicional.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (mini-aula rápida e necessária):
  • Potência aparente: \;S (em VA, kVA, MVA).
  • Potência ativa: \;P (em W, kW, MW). Relação: \;P = S \cdot \cos\varphi, onde \cos\varphi é o fator de potência.
  • Potência reativa: \;Q (em VAR, kVAr, MVAR). Relação: \;Q = S \cdot \sin\varphi.
  • Relação pitagórica: \;S^2 = P^2 + Q^2.
  • Outra forma útil (muito usada em correção de FP): \;Q = P \tan\varphi, porque \tan\varphi = \dfrac{Q}{P}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a potência ativa da carga (essa potência não muda com a correção de FP):
P = S_1 \cdot \mathrm{FP}_1
Substituindo os valores (atenção às unidades: 11{,}5\\ \mathrm{MVA}=11{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{VA}, mas vou trabalhar em MW / Mvar):
P = 11{,}5\\ \mathrm{MVA}\times 0{,}8 = 9{,}2\\ \mathrm{MW}.
Interpretação: a oficina consome 9{,}2\\ \mathrm{MW} de potência ativa.

Passo 4

Calcular a potência reativa inicial da carga \;Q_1:
Q_1 = \sqrt{S_1^2 - P^2}.
Em MVA/MW:
Q_1 = \sqrt{(11{,}5)^2 - (9{,}2)^2}\\ \mathrm{Mvar}.
Cálculo numérico:
(11{,}5)^2 = 132{,}25,\qquad (9{,}2)^2 = 84{,}64,
Q_1 = \sqrt{132{,}25 - 84{,}64} = \sqrt{47{,}61} = 6{,}900\\ \mathrm{Mvar}.
Portanto \;Q_1 = 6{,}9\\ \mathrm{Mvar}.

Passo 5

Calcular a potência aparente necessária após correção \;S_2 e a potência reativa final \;Q_2:
S_2 = \frac{P}{\mathrm{FP}_2} = \frac{9{,}2}{0{,}92} = 10{,}0\\ \mathrm{MVA}.
Q_2 = \sqrt{S_2^2 - P^2} = \sqrt{(10{,}0)^2 - (9{,}2)^2} = \sqrt{100 - 84{,}64} = \sqrt{15{,}36}.
Q_2 = 3{,}919183588\ldots\\ \mathrm{Mvar}\\ \approx 3{,}919\\ \mathrm{Mvar}.

Passo 6

Calcular a reativa do capacitor necessária \;Q_c. Intuição: o banco capacitivo fornece reativa capacitiva que reduz a reativa indutiva da carga. Logo:
Q_c = Q_1 - Q_2.
Substituindo:
Q_c = 6{,}9\\ \mathrm{Mvar} - 3{,}919183588\\ \mathrm{Mvar} = 2{,}980816412\\ \mathrm{Mvar}.
Arredondando para valores práticos:
Q_c \approx 2{,}981\\ \mathrm{Mvar} = 2{,}981\\ \mathrm{Mvar}\approx 2981\\ \mathrm{kVAr}.
Comentário didático (fórmula direta que poupa passos): também dá para usar a fórmula
Q_c \;=\; P\big(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2\big),
onde \cos\varphi_1=\mathrm{FP}_1 e \cos\varphi_2=\mathrm{FP}_2. Isso vem de Q=P\tan\varphi. Usei a rota com \,S^2=P^2+Q^2 para ser mais explícito, mas ambas as formas são equivalentes.

Passo 7

Converter \;Q_c em capacitância (fórmula e observação sobre dados ausentes):
  • Fórmula geral (para bancadas trifásicas) dependendo da ligação:
    • Se o banco for ligado em estrela (Y), a potência reativa total do banco é
    Q_c = V_{LL}^2 \,\omega C_{\text{total}},com \omega = 2\pi f e C_{\text{total}} = capacitância equivalente do conjunto tal que a equação vale (essa relação vale quando se trata da capacitância total referida ao conjunto trifásico em estrela).
    • Se o banco for ligado em delta (Δ),
    Q_c = 3\,V_{LL}^2 \,\omega C_{\Delta},porque cada fase do capacitor em delta vê a tensão de linha.
  • Observação importante: o enunciado não informou a frequência da rede nem o esquema de ligação (Y ou Δ). Portanto NÃO POSSO determinar a capacitância exatamente sem assumir esses dados. O que eu já apresentei ( Q_c) é o que normalmente o projeto pede como tamanho do banco (em kVAr).
Para dar um exemplo prático (assumindo informações típicas):
  • Assuma f=60\\ \mathrm{Hz} (frequência típica no Brasil) e tensão V_{LL}=13{,}8\\ \mathrm{kV}.
  • Calcular \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 376{,}9911184\\ \mathrm{rad/s}.
  • Para ligação em estrela (Y), resolver
C_{\text{Y}} = \frac{Q_c}{V_{LL}^2\,\omega}.
Usando Q_c = 2{,}980816412\times 10^{6}\\ \mathrm{VAR} e V_{LL}=13{,}800\\ \mathrm{V},
C_{\text{Y}} \approx 4{,}151\times 10^{-5}\\ \mathrm{F} = 41{,}5\\ \mu\mathrm{F}.
  • Para ligação em delta (Δ),
C_{\Delta} = \frac{Q_c}{3\,V_{LL}^2\,\omega} \approx \frac{41{,}5\\ \mu\mathrm{F}}{3} \approx 13{,}8\\ \mu\mathrm{F}.
Reforço: esses valores de capacitância são APENAS exemplos, calculados com a hipótese f=60\\ \mathrm{Hz} e mostrando os dois tipos de ligação. Se a rede for 50\\ \mathrm{Hz} ou se houver outra convenção de ligação, os valores mudam.

Resposta

Q_c \approx 2{,}9808\\ \mathrm{Mvar} \;=\; 2980{,}8\\ \mathrm{kVAr} (capacitor reativo necessário para corrigir \mathrm{FP} de 0{,}8 para 0{,}92).\nAssumindo adicionalmente f=60\\ \mathrm{Hz}: C_{\text{Y}}\approx 41{,}5\\ \mu\mathrm{F} (ligação estrela) e C_{\Delta}\approx 13{,}8\\ \mu\mathrm{F} (ligação delta).

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