Determine: A energia e o momento angular para que a órbita seja uma circunferência de raio a com centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a energia e o momento angular de uma órbita que é uma circunferência com raio e centro na origem. Isso está ligado à Mecânica Orbital, onde estudamos o movimento de objetos sob a influência de forças centriais, como a gravidade. Para resolver, vamos precisar usar as leis de Newton e algumas fórmulas básicas de energia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que mantém um objeto em uma órbita circular. Tem que haver um equilíbrio entre a força centrípeta necessária para manter o objeto na órbita e a força gravitacional que está puxando ele para o centro.
A força centrípeta é dada por:
Fc = m v^2a
onde:
  • Fg = G M ma^2 é a massa do objeto,
  • m v^2a = G M ma^2 é a velocidade do objeto,
  • é o raio da órbita.
A força gravitacional é:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do corpo central (como o Sol, por exemplo).
Para que a órbita seja estável e circular, essas duas forças devem ser iguais:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade v^2 = G Ma . Cancelando a massa v = raizG Ma e multiplicando ambos os lados por , temos:
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento angular ( L = m v a ). O momento angular para um movimento circular é dado por:
L = m raizG Ma cdot a = m raizG M a
Substituindo a velocidade que encontramos:

Passo 5

Vamos calcular a energia total ( E = K + U ) da órbita. A energia total é a soma da energia cinética ( K = 12 m v^2 = 12 m cdot G Ma = G M m2 a ) e da energia potencial ( U = -G M ma ):
E = G M m2 a - G M ma = -G M m2 a
A energia cinética é:
A energia potencial gravitacional é:
Então, a energia total fica:

Resposta

Para uma órbita circular de raio E = -G M m2 a com centro na origem, a energia total é:
L = m raizG M a
E o momento angular é:

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