Determine: A energia e o momento angular para que a órbita seja uma circunferência de raio
com centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a energia e o momento angular de uma órbita que é uma circunferência com raio
e centro na origem. Isso está ligado à Mecânica Orbital, onde estudamos o movimento de objetos sob a influência de forças centriais, como a gravidade. Para resolver, vamos precisar usar as leis de Newton e algumas fórmulas básicas de energia e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que mantém um objeto em uma órbita circular. Tem que haver um equilíbrio entre a força centrípeta necessária para manter o objeto na órbita e a força gravitacional que está puxando ele para o centro.
A força centrípeta é dada por:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade do objeto, -
é o raio da órbita.
A força gravitacional é:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do corpo central (como o Sol, por exemplo).
Para que a órbita seja estável e circular, essas duas forças devem ser iguais:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade
. Cancelando a massa
e multiplicando ambos os lados por
, temos:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento angular (
). O momento angular para um movimento circular é dado por:
Substituindo a velocidade que encontramos:
Passo 5
Vamos calcular a energia total (
) da órbita. A energia total é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
):
A energia cinética é:
A energia potencial gravitacional é:
Então, a energia total fica:
Resposta
Para uma órbita circular de raio
com centro na origem, a energia total é:
E o momento angular é: