Determine uma equação algébrica de grau mínima de forma que
e
sejam raízes.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma equação algébrica de grau mínima de forma que
,
e
sejam raízes.”\n
Informações dadas: as raízes indicadas são e
.\n
Objetivo claro: encontrar um polinômio (equação algébrica) cujo conjunto de raízes inclua esses três números, com o menor grau possível.
Informações dadas: as raízes indicadas são
Objetivo claro: encontrar um polinômio (equação algébrica) cujo conjunto de raízes inclua esses três números, com o menor grau possível.
Passo 2
Decisão sobre coeficientes: muitas vezes, quando o problema não diz nada sobre os coeficientes, o objetivo implícito é achar um polinômio com coeficientes reais (porque é o caso mais comum em exercícios). Vou, então, procurar o polinômio de grau mínimo com coeficientes reais que tenha as raízes dadas. Se aceitássemos coeficientes complexos, seria imediata uma solução de grau
(veja nota ao final), mas com coeficientes reais teremos que respeitar uma regra importante que vou explicar agora.
Passo 3
Teorema das raízes complexas conjugadas (explicação didática): se um polinômio tem coeficientes reais e um número complexo
(com
) é raiz, então seu conjugado
também é raiz. Intuição simples: conjugação conserva somas e produtos e deixa os coeficientes reais inalterados, logo substituir o conjugado anula o polinômio também. Aplicando ao nosso caso, como queremos coeficientes reais e já temos as raízes
e
, isso implica que também devem ser raízes os conjugados
e
.
Portanto, com coeficientes reais as raízes que devemos ter são:
Passo 4
Construção por fatores lineares: um polinômio que tenha exatamente essas raízes (ao menos) pode ser escrito como produto dos fatores lineares correspondentes:
Explicação: cada fator
corresponde à raiz
. O produto garante que cada
anula
.
Passo 5
Simplificação usando pares conjugados: pares de raízes conjugadas multiplicam-se formando quadráticos com coeficientes reais fáceis de calcular. Vamos agrupar:
Primeiro par:
(Usei que
.)
Passo 6
Simplificar o segundo par: escrevo
e
. Então
Como
, isso dá
Agora expando
:
Passo 7
Substituindo as duas expressões na forma fatorada de
:
Explicação: agrupamos os conjugados para obter quadráticos com coeficientes reais, o que facilita as contas.
Passo 8
Multiplicação passo a passo dos dois quadráticos:
Calculemos primeiro . Faço a multiplicação termo a termo:
Calculemos primeiro
Passo 9
Agora multiplico por
(o fator correspondente à raiz
):
Distribuindo
:
Essa é a forma expandida do polinômio com coeficientes reais e que tem as cinco raízes indicadas.
Passo 10
Verificação / observação final: como construímos
como produto dos fatores
, fica claro que
,
e
. Também incluímos os conjugados
e
para garantir coeficientes reais. O grau é
e não é possível um polinômio com coeficientes reais de grau menor que
que contenha simultaneamente
e
sem também incluir seus conjugados (isso aumentaria o número de raízes distintas), portanto este grau é mínimo sob a hipótese de coeficientes reais.
Observação curta (caso quiséssemos coeficientes complexos): se aceitássemos coeficientes complexos, um polinômio de grau mínimo seria simplesmente
de grau
. Mas daqui para frente mantivemos a hipótese padrão de coeficientes reais.