Determine uma equação algébrica de grau mínima de forma que 0, i e 1+i sejam raízes.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma equação algébrica de grau mínima de forma que 0, i e 1+i sejam raízes.”\n
Informações dadas: as raízes indicadas são \;0\;,\;i\; e \;1+i\;.\n
Objetivo claro: encontrar um polinômio (equação algébrica) cujo conjunto de raízes inclua esses três números, com o menor grau possível.

Passo 2

Decisão sobre coeficientes: muitas vezes, quando o problema não diz nada sobre os coeficientes, o objetivo implícito é achar um polinômio com coeficientes reais (porque é o caso mais comum em exercícios). Vou, então, procurar o polinômio de grau mínimo com coeficientes reais que tenha as raízes dadas. Se aceitássemos coeficientes complexos, seria imediata uma solução de grau 3 (veja nota ao final), mas com coeficientes reais teremos que respeitar uma regra importante que vou explicar agora.

Passo 3

Teorema das raízes complexas conjugadas (explicação didática): se um polinômio tem coeficientes reais e um número complexo a+bi (com b\neq0) é raiz, então seu conjugado a-bi também é raiz. Intuição simples: conjugação conserva somas e produtos e deixa os coeficientes reais inalterados, logo substituir o conjugado anula o polinômio também. Aplicando ao nosso caso, como queremos coeficientes reais e já temos as raízes \;i\; e \;1+i\;, isso implica que também devem ser raízes os conjugados \;-i\; e \;1-i\;.
Portanto, com coeficientes reais as raízes que devemos ter são:
0,\quad i,\quad -i,\quad 1+i,\quad 1-i.

Passo 4

Construção por fatores lineares: um polinômio que tenha exatamente essas raízes (ao menos) pode ser escrito como produto dos fatores lineares correspondentes:
P(x)=x\,(x-i)\,(x+i)\,(x-(1+i))\,(x-(1-i)).
Explicação: cada fator (x-\alpha) corresponde à raiz \alpha. O produto garante que cada \alpha anula P(x).

Passo 5

Simplificação usando pares conjugados: pares de raízes conjugadas multiplicam-se formando quadráticos com coeficientes reais fáceis de calcular. Vamos agrupar:
(x-i)(x+i) \quad\text{e}\quad (x-(1+i))(x-(1-i)).
Primeiro par:
(x-i)(x+i)=x^2-(i)^2=x^2-(-1)=x^2+1.
(Usei que i^2=-1.)

Passo 6

Simplificar o segundo par: escrevo x-(1+i)=(x-1)-i e x-(1-i)=(x-1)+i. Então
(x-(1+i))(x-(1-i)) = \big((x-1)-i\big)\big((x-1)+i\big) = (x-1)^2 - (i)^2.
Como i^2=-1, isso dá
(x-1)^2 - (i)^2 = (x-1)^2 - (-1) = (x-1)^2 + 1.
Agora expando (x-1)^2+1:
(x-1)^2+1 = (x^2 -2x +1) + 1 = x^2 -2x +2.

Passo 7

Substituindo as duas expressões na forma fatorada de P(x):
P(x) = x\,(x^2+1)\,(x^2 -2x +2).
Explicação: agrupamos os conjugados para obter quadráticos com coeficientes reais, o que facilita as contas.

Passo 8

Multiplicação passo a passo dos dois quadráticos:
Calculemos primeiro (x^2+1)(x^2-2x+2). Faço a multiplicação termo a termo:
\begin{aligned} (x^2+1)(x^2-2x+2) &= x^2\cdot(x^2-2x+2) + 1\cdot(x^2-2x+2)\\\ &= (x^4 -2x^3 +2x^2) + (x^2 -2x +2)\\\ &= x^4 -2x^3 + (2x^2 + x^2) -2x +2\\\ &= x^4 -2x^3 +3x^2 -2x +2. \end{aligned}

Passo 9

Agora multiplico por x (o fator correspondente à raiz 0):
P(x)=x\,(x^4 -2x^3 +3x^2 -2x +2).
Distribuindo x:
P(x)=x^5 -2x^4 +3x^3 -2x^2 +2x.
Essa é a forma expandida do polinômio com coeficientes reais e que tem as cinco raízes indicadas.

Passo 10

Verificação / observação final: como construímos P(x) como produto dos fatores (x-\text{raiz}), fica claro que P(0)=0, P(i)=0 e P(1+i)=0. Também incluímos os conjugados -i e 1-i para garantir coeficientes reais. O grau é 5 e não é possível um polinômio com coeficientes reais de grau menor que 5 que contenha simultaneamente \;i\; e \;1+i\; sem também incluir seus conjugados (isso aumentaria o número de raízes distintas), portanto este grau é mínimo sob a hipótese de coeficientes reais.
Observação curta (caso quiséssemos coeficientes complexos): se aceitássemos coeficientes complexos, um polinômio de grau mínimo seria simplesmente
x\,(x-i)\,(x-1-i),
de grau 3. Mas daqui para frente mantivemos a hipótese padrão de coeficientes reais.

Resposta

x^5 -2x^4 +3x^3 -2x^2 +2x = 0

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