Determine a, b e c de modo que se tenha
a\left(x^{2}-1\right)+b x+c=0;

Passo 1

O enunciado dá a expressão a\left(x^{2}-1\right)+b x+c=0 e pede para determinar os números a, b e c.
Interpreto que essa igualdade deve valer para todo x (ou seja, é uma identidade polinomial). As informações relevantes são: a expressão depende de x e os coeficientes desconhecidos são a, b e c.

Passo 2

Entendendo o que significa ser uma identidade polinomial: dizer que um polinômio em x é igual a zero para todo x significa que é o polinômio nulo. Um polinômio é nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes são zero. Vou usar isso para comparar coeficientes das potências de x.

Passo 3

Primeiro expandimos a expressão para ver os coeficientes de cada potência de x. A expansão é simples:
a\left(x^{2}-1\right)+b x+c = a x^{2} - a + b x + c.
Agrupando por potências de x obtemos
a x^{2} + b x + (c - a).

Passo 4

Agora aplicamos a ideia do polinômio nulo: se
a x^{2} + b x + (c - a) = 0\quad\text{para todo }x,
então cada coeficiente deve ser zero. Ou seja, devemos ter as três igualdades:
\text{coeficiente de }x^{2}: \quad a = 0,
\text{coeficiente de }x: \quad b = 0,
\text{termo constante:} \quad c - a = 0.

Passo 5

Resolvendo as igualdades em ordem: da primeira vem
a = 0.
Da segunda vem
b = 0.
Substituindo a=0 na terceira igualdade c - a = 0 obtemos
c - 0 = 0 \implies c = 0.

Passo 6

Como checagem alternativa (útil na prova): podemos avaliar a identidade em três valores distintos de x (por exemplo, x=0,1,-1) e obter um sistema para a,b,c. Fazendo isso rapidamente:
x=0:\quad a(0-1)+b\cdot0+c=0 \Rightarrow -a+c=0,
x=1:\quad a(1-1)+b\cdot1+c=0 \Rightarrow b+c=0,
x=-1:\quad a(1-1)+b(-1)+c=0 \Rightarrow -b+c=0.
Somando as duas últimas equações b+c=0 e -b+c=0 2c=0\Rightarrow c=0, então de b+c=0 vem b=0, e de -a+c=0 com c=0 vem a=0. Resultado consistente com o método por comparação de coeficientes.

Resposta

a=b=c=0

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