Determine
e
de modo que se tenha
;
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para determinar os números
,
e
.
Interpreto que essa igualdade deve valer para todo (ou seja, é uma identidade polinomial). As informações relevantes são: a expressão depende de
e os coeficientes desconhecidos são
,
e
.
Interpreto que essa igualdade deve valer para todo
Passo 2
Entendendo o que significa ser uma identidade polinomial: dizer que um polinômio em
é igual a zero para todo
significa que é o polinômio nulo. Um polinômio é nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes são zero. Vou usar isso para comparar coeficientes das potências de
.
Passo 3
Primeiro expandimos a expressão para ver os coeficientes de cada potência de
. A expansão é simples:
Agrupando por potências de
obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a ideia do polinômio nulo: se
então cada coeficiente deve ser zero. Ou seja, devemos ter as três igualdades:
Passo 5
Resolvendo as igualdades em ordem: da primeira vem
Da segunda vem
Substituindo
na terceira igualdade
obtemos
Passo 6
Como checagem alternativa (útil na prova): podemos avaliar a identidade em três valores distintos de
(por exemplo,
) e obter um sistema para
. Fazendo isso rapidamente:
Somando as duas últimas equações
e
dá
, então de
vem
, e de
com
vem
. Resultado consistente com o método por comparação de coeficientes.