Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 4y' - y = 0
Precisamos encontrar a equação característica, resolver suas raízes e montar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(x)=e^{rx}. Substituindo y, y' e y'' na EDO, obtemos a equação polinomial
r^2 + 4r - 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 4r - 1 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}.

Passo 4

Como as raízes r_1 = -2 + \sqrt{5} e r_2 = -2 - \sqrt{5} são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1\,e^{(-2 + \sqrt{5})x} \;+\; C_2\,e^{(-2 - \sqrt{5})x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{(-2 + \sqrt{5})x} + C_2\,e^{(-2 - \sqrt{5})x}

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