Determine a para que a equação do 2^circ grau a x^2+x+1=0 admita duas raízes reais e distintas.
a) a=14
b) a<14
c) a>14
d) a=4
e) a=-4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar para quais valores de $ a $ a equação do segundo grau $ a x^{2} + x + 1 = 0 $ tem duas raízes reais e diferentes. Para resolver isso, vamos usar o conceito de discriminante das equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma equação de segundo grau tem a forma geral $ a x^{2} + b x + c = 0 $. Para que essa equação tenha duas raízes reais e distintas, o discriminante $ \Delta $ precisa ser maior que zero. O discriminante é calculado pela fórmula:
a x^2 + b x + c = 0

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação específica $ a x^{2} + x + 1 = 0 $:
  • $ a = a $ (o coeficiente que queremos encontrar)
  • $ b = 1 $
  • $ c = 1 $

Passo 4

Agora, vamos calcular o discriminante usando esses valores:
De

Passo 5

Para que a equação tenha duas raízes reais e distintas, precisamos que $ \Delta > 0 $. Então, estabelecemos a inequação:
De 0

Passo 6

Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de $ a $:
a
Subtraindo 1 de ambos os lados:
1 - 4a > 0
Agora, dividindo ambos os lados por -4 (lembrando que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte):
-4a > -1

Resposta

A alternativa correta é b) $ a < \frac{1}{4} $.

Exercícios relacionados