Determine a para que a equação do
grau
admita duas raízes reais e distintas.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar para quais valores de $ a $ a equação do segundo grau $ a x^{2} + x + 1 = 0 $ tem duas raízes reais e diferentes. Para resolver isso, vamos usar o conceito de discriminante das equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma equação de segundo grau tem a forma geral $ a x^{2} + b x + c = 0 $. Para que essa equação tenha duas raízes reais e distintas, o discriminante $ \Delta $ precisa ser maior que zero. O discriminante é calculado pela fórmula:
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes da nossa equação específica $ a x^{2} + x + 1 = 0 $:
- $ a = a $ (o coeficiente que queremos encontrar)
- $ b = 1 $
- $ c = 1 $
Passo 4
Agora, vamos calcular o discriminante usando esses valores:
Passo 5
Para que a equação tenha duas raízes reais e distintas, precisamos que $ \Delta > 0 $. Então, estabelecemos a inequação:
Passo 6
Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de $ a $:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por -4 (lembrando que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte):
Resposta
A alternativa correta é b) $ a < \frac{1}{4} $.