Determine uma equação da circunferência:
g) situada no primeiro quadrante, tangente às retas 
  e 
  e que passa pelo ponto 
 
g) situada no primeiro quadrante, tangente às retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que está no primeiro quadrante, é tangente às retas 
  e 
 , e passa pelo ponto 
 . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da circunferência e as condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência é:
Onde 
  é o centro da circunferência e 
  é o raio.
Passo 3
Como a circunferência é tangente às retas 
  e 
 , isso significa que a distância do centro da circunferência a essas retas é exatamente igual ao raio 
 .
Passo 4
Vamos calcular a distância do centro 
  à reta 
 . A fórmula da distância de um ponto 
  a uma reta 
  é:
Então, para a reta 
 :
Como a circunferência está no primeiro quadrante e 
  está acima do centro, temos:
Passo 5
Agora, a circunferência também é tangente à reta 
 , que é o eixo 
 . A distância do centro 
  a essa reta é novamente igual ao raio 
 :
Passo 6
Vamos igualar as duas expressões para 
 :
Isso resulta em uma contradição (
 ), o que indica que precisamos revisar nossa abordagem.
Na verdade, percebi que, como a circunferência está no primeiro quadrante e é tangente tanto a 
  quanto a 
 , o centro da circunferência deve estar a uma distância 
  de cada uma dessas retas.
Portanto:
Passo 7
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo 
  na segunda equação:
Passo 8
Agora que sabemos 
  e 
 , precisamos encontrar 
 . Sabemos que a circunferência passa pelo ponto 
 . Vamos substituir esses valores na equação da circunferência:
Simplificando:
Subtraindo 
  de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Resolvendo para 
 :
Passo 9
Como a circunferência está no primeiro quadrante, o valor de 
  deve ser positivo. Portanto, descartamos a solução 
  e ficamos com:
Resposta
A equação da circunferência é:
Ou simplificando: