Determine uma equação da circunferência tangente às retas 
  e 
  nos pontos 
  e 
 , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que é tangente às retas 
  e 
  nos pontos 
  e 
 , respectivamente. Então, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com circunferências e suas tangências a retas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da circunferência e as condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da circunferência:
Aqui, 
  é o centro da circunferência e 
  é o raio. Nosso objetivo é encontrar 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Como a circunferência é tangente às retas 
  e 
  nos pontos 
  e 
 , respectivamente, esses pontos estão na circunferência. Então, podemos substituir esses pontos na equação da circunferência para obter duas equações:
Para 
 :
Para 
 :
Passo 4
Como ambas as equações são iguais a 
 , podemos igualá-las:
Simplificando, percebemos que 
  se cancela de ambos os lados:
Passo 5
Expandindo os quadrados:
Subtraindo 
  de ambos os lados:
Somando 
  aos dois lados:
Então, o centro da circunferência está na posição 
 .
Passo 6
Agora, voltamos a uma das equações iniciais para encontrar 
 . Vamos usar a equação (1):
Passo 7
Como a circunferência é tangente às retas 
  e 
 , a distância do centro 
  a cada uma dessas retas deve ser igual ao raio 
 .
A fórmula para a distância de um ponto 
  a uma reta 
  é:
Para a reta 
 , reescrevemos como 
 . Então, a distância é:
Simplificando:
Passo 8
Vamos substituir 
  na equação (3):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Expandindo 
 :
Simplificando:
Subtraindo 
  de ambos os lados:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma única solução:
Passo 10
Agora que temos 
  e 
 , podemos encontrar o raio 
 :
Resposta
A equação da circunferência é: