Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1), B=(-2,3,1) e C=(-3,-1,-1).
Escolha uma oppão:
◯ a. 8 x+10 y-21 z+7=0
◯ b. -2 x+2 y+3 z+5=0
◯ c. 10 x+2 y-21 z-7=0
◯ d. 8 x-2 y+9 z+13=0
◯ e. -2 x-4 y+9 z-1=0
Passo 1
O enunciado dá três pontos e pede a equação geral do plano que passa por eles. Os dados são:
A = (-1,-2,-1)
B = (-2,3,1)
C = (-3,-1,-1)
O que se quer: encontrar a equação geral do plano que contém A,B,C e, ao final, comparar com as opções fornecidas.
Passo 2
Ideia do método (curtinha e prática): para obter a equação de um plano usamos um vetor normal \vec{n} ao plano e a forma ponto-normal
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)- (x_0,y_0,z_0)\bigr)=0,
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano (por exemplo A). Para achar \vec{n} usamos o produto vetorial de dois vetores diretores do plano, por exemplo \vec{AB} e \vec{AC}: \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}.
Passo 3
Calcular \vec{AB}. Pela definição \vec{AB}=B-A, elemento a elemento:
Explicando o produto vetorial (rápido e claro): para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos, dado pela fórmula determinantal
Calcular \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC} usando as componentes encontradas:
Aqui \vec{AB}=(-1,5,2) e \vec{AC}=(-2,1,0). Aplicando a fórmula componente a componente:
Portanto um vetor normal ao plano é \vec{n}=(-2,-4,9). Observação: qualquer múltiplo não-nulo desse vetor também serve, mas usamos este que saiu naturalmente.
Passo 8
Escrever a equação ponto-normal. Seja (x,y,z) um ponto genérico do plano e usemos o ponto A=(-1,-2,-1). A condição é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Substituindo \vec{n}=(-2,-4,9) e A:
(-2,-4,9)\cdot\bigl((x+1,\;y+2,\;z+1)\bigr)=0.
Passo 9
Fazer o produto escalar e obter a forma geral. Calculando componente a componente:
-2(x+1) -4(y+2) +9(z+1)=0.
Expandindo:
-2x -2 -4y -8 +9z +9 = 0.
Somando os termos constantes:
-2x -4y +9z -1 = 0.
Passo 10
Interpretar a equação encontrada: a forma geral do plano é
-2x -4y +9z -1 = 0.
(Nota: poderia multiplicar por -1 para obter 2x+4y-9z+1=0; ambas representam o mesmo plano.)
Passo 11
Checagem rápida: verificar que A,B,C satisfazem a equação encontrada.
Para A=(-1,-2,-1):
-2(-1)-4(-2)+9(-1)-1 = 2+8-9-1 = 0.
Para B=(-2,3,1):
-2(-2)-4(3)+9(1)-1 = 4-12+9-1 = 0.
Para C=(-3,-1,-1):
-2(-3)-4(-1)+9(-1)-1 = 6+4-9-1 = 0.
Todos dão 0, portanto a equação está correta e passa pelos três pontos.