Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,-2,-1), B=(-2,3,1) e C=(-3,-1,-1).
Escolha uma oppão:
◯ a. 8 x+10 y-21 z+7=0
◯ b. -2 x+2 y+3 z+5=0
◯ c. 10 x+2 y-21 z-7=0
◯ d. 8 x-2 y+9 z+13=0
◯ e. -2 x-4 y+9 z-1=0

Passo 1

O enunciado dá três pontos e pede a equação geral do plano que passa por eles. Os dados são:
  • A = (-1,-2,-1)
  • B = (-2,3,1)
  • C = (-3,-1,-1)
O que se quer: encontrar a equação geral do plano que contém A,B,C e, ao final, comparar com as opções fornecidas.

Passo 2

Ideia do método (curtinha e prática): para obter a equação de um plano usamos um vetor normal \vec{n} ao plano e a forma ponto-normal
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)- (x_0,y_0,z_0)\bigr)=0,
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano (por exemplo A). Para achar \vec{n} usamos o produto vetorial de dois vetores diretores do plano, por exemplo \vec{AB} e \vec{AC}: \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}.

Passo 3

Calcular \vec{AB}. Pela definição \vec{AB}=B-A, elemento a elemento:
\vec{AB}=(-2-(-1),\;3-(-2),\;1-(-1)) = (-1,\;5,\;2).

Passo 4

Calcular \vec{AC}. Pela definição \vec{AC}=C-A:
\vec{AC}=(-3-(-1),\;-1-(-2),\;-1-(-1)) = (-2,\;1,\;0).

Passo 5

Explicando o produto vetorial (rápido e claro): para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos, dado pela fórmula determinantal
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
ou em componentes
\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1).
Esse vetor será nosso \vec{n}.

Passo 6

Calcular \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC} usando as componentes encontradas:
Aqui \vec{AB}=(-1,5,2) e \vec{AC}=(-2,1,0). Aplicando a fórmula componente a componente:
\vec{n} = (5\cdot0 - 2\cdot1,\; 2\cdot(-2) - (-1)\cdot0,\; (-1)\cdot1 - 5\cdot(-2)).

Passo 7

Continuando as contas do produto vetorial:
\vec{n} = (0-2,\; -4-0,\; -1+10) = (-2,\; -4,\; 9).
Portanto um vetor normal ao plano é \vec{n}=(-2,-4,9). Observação: qualquer múltiplo não-nulo desse vetor também serve, mas usamos este que saiu naturalmente.

Passo 8

Escrever a equação ponto-normal. Seja (x,y,z) um ponto genérico do plano e usemos o ponto A=(-1,-2,-1). A condição é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Substituindo \vec{n}=(-2,-4,9) e A:
(-2,-4,9)\cdot\bigl((x+1,\;y+2,\;z+1)\bigr)=0.

Passo 9

Fazer o produto escalar e obter a forma geral. Calculando componente a componente:
-2(x+1) -4(y+2) +9(z+1)=0.
Expandindo:
-2x -2 -4y -8 +9z +9 = 0.
Somando os termos constantes:
-2x -4y +9z -1 = 0.

Passo 10

Interpretar a equação encontrada: a forma geral do plano é
-2x -4y +9z -1 = 0.
(Nota: poderia multiplicar por -1 para obter 2x+4y-9z+1=0; ambas representam o mesmo plano.)

Passo 11

Checagem rápida: verificar que A,B,C satisfazem a equação encontrada.
  • Para A=(-1,-2,-1):
-2(-1)-4(-2)+9(-1)-1 = 2+8-9-1 = 0.
  • Para B=(-2,3,1):
-2(-2)-4(3)+9(1)-1 = 4-12+9-1 = 0.
  • Para C=(-3,-1,-1):
-2(-3)-4(-1)+9(-1)-1 = 6+4-9-1 = 0.
Todos dão 0, portanto a equação está correta e passa pelos três pontos.

Resposta

(e)

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