Resolva pela regra de Cramer, onde aplicável.
16. 7 x_{1}-2 x_{2}=3
3 x_{1}+x_{2}=5
4 x+5 y=2
11 x+y+2 z=3
x+5 y+2 z=1
x-4 y+z=6
4 x-y+2 z=-1
2 x+2 y-3 z=-20
Passo 1
O enunciado pede para resolver os três sistemas lineares indicados usando a regra de Cramer, quando aplicável. Vou listar claramente cada sistema (essas são as informações dadas):
Montar a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b.
Calcular o determinante \det(A). Se \det(A)\neq 0, aplicar a regra de Cramer: cada incógnita é a razão entre o determinante da matriz obtida substituindo a coluna correspondente por b e \det(A).
Se \det(A)=0, avisar que a regra de Cramer não é aplicável.]
Passo 2
Breve explicação da regra de Cramer e de determinantes usada aqui (didático e direto):
Para um sistema 2\times 2\)
\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\[4pt] a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \end{cases}
a matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\] e o determinante é
\[\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\]
Pela regra de Cramer,
\[x_1=\frac{\det(A_1)}{\det(A)},\qquad x_2=\frac{\det(A_2)}{\det(A)},\]
onde \(A_1 é A com a primeira coluna substituída por \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} e A_2 é A com a segunda coluna substituída por \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix}.
uma maneira prática de calcular \det(A) é a regra de Sarrus: copiar as duas primeiras colunas à direita e somar os produtos das diagonais descendentes e subtrair os das ascendentes. Em fórmulas (com cuidado na execução), aplica-se a regra de Cramer igual ao caso 2\times2: cada incógnita é \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}, onde A_i tem a i-ésima coluna substituída pelo vetor dos termos independentes.
Preparação para os sistemas 3\times3 (sistemas 17 e 18): vou aplicar a regra de Sarrus para calcular determinantes 3\times3. Lembrete rápido da regra de Sarrus aplicada a