Resolva pela regra de Cramer, onde aplicável.
16. 7 x_{1}-2 x_{2}=3
3 x_{1}+x_{2}=5
  1. 4 x+5 y=2
11 x+y+2 z=3
x+5 y+2 z=1
  1. x-4 y+z=6
4 x-y+2 z=-1
2 x+2 y-3 z=-20

Passo 1

O enunciado pede para resolver os três sistemas lineares indicados usando a regra de Cramer, quando aplicável. Vou listar claramente cada sistema (essas são as informações dadas):
Sistema 16:
\begin{cases} 7x_{1}-2x_{2}=3,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}=5. \end{cases}
Sistema 17:
\begin{cases} 4x+5y=2,\\[4pt] 11x+y+2z=3,\\[4pt] x+5y+2z=1. \end{cases}
Sistema 18:
\begin{cases} x-4y+z=6,\\[4pt] 4x-y+2z=-1,\\[4pt] 2x+2y-3z=-20. \end{cases}
O que será feito para cada sistema:
  • Montar a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b.
  • Calcular o determinante \det(A). Se \det(A)\neq 0, aplicar a regra de Cramer: cada incógnita é a razão entre o determinante da matriz obtida substituindo a coluna correspondente por b e \det(A).
  • Se \det(A)=0, avisar que a regra de Cramer não é aplicável.]

Passo 2

Breve explicação da regra de Cramer e de determinantes usada aqui (didático e direto):
  • Para um sistema 2\times 2\) \[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\\[4pt] a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \end{cases}
a matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\] e o determinante é \[\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\] Pela regra de Cramer, \[x_1=\frac{\det(A_1)}{\det(A)},\qquad x_2=\frac{\det(A_2)}{\det(A)},\] onde \(A_1 é A com a primeira coluna substituída por \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} e A_2 é A com a segunda coluna substituída por \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix}.
  • Para um sistema 3\times 3
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
uma maneira prática de calcular \det(A) é a regra de Sarrus: copiar as duas primeiras colunas à direita e somar os produtos das diagonais descendentes e subtrair os das ascendentes. Em fórmulas (com cuidado na execução), aplica-se a regra de Cramer igual ao caso 2\times2: cada incógnita é \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}, onde A_i tem a i-ésima coluna substituída pelo vetor dos termos independentes.
Agora aplico isso passo a passo a cada sistema.]

Passo 3

Resolver o Sistema 16 pelo método explicado.
Matriz dos coeficientes e vetor de termos:
A=\begin{pmatrix}7 & -2\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Calcular \det(A):
\det(A)=7\cdot 1 - (-2)\cdot 3 =7+6=13.
Como \det(A)=13\neq 0, a regra de Cramer vale.
Construir A_1 (substitui 1ª coluna por b) e \det(A_1):
A_1=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det(A_1)=3\cdot 1 - (-2)\cdot 5 =3+10=13.
Construir A_2 (substitui 2ª coluna por b) e \det(A_2):
A_2=\begin{pmatrix}7 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}, \qquad \det(A_2)=7\cdot 5 - 3\cdot 3 =35-9=26.
Aplicar Cramer:
x_{1}=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}=\frac{13}{13}=1,\qquad x_{2}=\frac{\det(A_2)}{\det(A)}=\frac{26}{13}=2.]

Passo 4

Preparação para os sistemas 3\times3 (sistemas 17 e 18): vou aplicar a regra de Sarrus para calcular determinantes 3\times3. Lembrete rápido da regra de Sarrus aplicada a
M=\begin{pmatrix} m_{11}&m_{12}&m_{13}\\[4pt] m_{21}&m_{22}&m_{23}\\[4pt] m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{pmatrix}:
calcular
\det(M)= (m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32}) - (m_{13}m_{22}m_{31}+m_{11}m_{23}m_{32}+m_{12}m_{21}m_{33}).
Vou usar essa fórmula explicitamente em cada cálculo, mostrando os produtos um a um para ficar bem claro.]

Passo 5

Resolver o Sistema 17.
Matriz dos coeficientes e vetor:
A=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 0\\[4pt] 11 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 5 & 2 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calcular \det(A) pela Sarrus:
\begin{aligned} \det(A) &= (4\cdot 1\cdot 2) + (5\cdot 2\cdot 1) + (0\cdot 11\cdot 5)\\[4pt] &\quad -\big(0\cdot 1\cdot 1 + 4\cdot 2\cdot 5 + 5\cdot 11\cdot 2\big)\\[4pt] &= (8) + (10) + (0) - (0 + 40 + 110)\\[4pt] &=18 -150 = -132. \end{aligned}
Como \det(A)=-132\neq 0, a regra de Cramer é aplicável.
Calcular \det(A_x), substituindo a 1ª coluna por b:
A_x=\begin{pmatrix}2 & 5 & 0\\[4pt]3 & 1 & 2\\[4pt]1 & 5 & 2\end{pmatrix}.
Usando Sarrus:
\begin{aligned} \det(A_x) &= (2\cdot 1\cdot 2) + (5\cdot 2\cdot 1) + (0\cdot 3\cdot 5)\\[4pt] &\quad -\big(0\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 5 + 5\cdot 3\cdot 2\big)\\[4pt] &= (4) + (10) + 0 - (0 + 20 + 30)\\[4pt] &=14 -50 = -36. \end{aligned}
Calcular \det(A_y), substituindo a 2ª coluna por b:
A_y=\begin{pmatrix}4 & 2 & 0\\[4pt]11 & 3 & 2\\[4pt]1 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Sarrus:
\begin{aligned} \det(A_y) &= (4\cdot 3\cdot 2) + (2\cdot 2\cdot 1) + (0\cdot 11\cdot 1)\\[4pt] &\quad -\big(0\cdot 3\cdot 1 + 4\cdot 2\cdot 1 + 2\cdot 11\cdot 2\big)\\[4pt] &= (24) + (4) + 0 - (0 + 8 + 44)\\[4pt] &=28 -52 = -24. \end{aligned}
Calcular \det(A_z), substituindo a 3ª coluna por b:
A_z=\begin{pmatrix}4 & 5 & 2\\[4pt]11 & 1 & 3\\[4pt]1 & 5 & 1\end{pmatrix}.
Sarrus:
\begin{aligned} \det(A_z) &= (4\cdot 1\cdot 1) + (5\cdot 3\cdot 1) + (2\cdot 11\cdot 5)\\[4pt] &\quad -\big(2\cdot 1\cdot 1 + 4\cdot 3\cdot 5 + 5\cdot 11\cdot 1\big)\\[4pt] &= (4) + (15) + (110) - (2 + 60 + 55)\\[4pt] &=129 -117 = 12. \end{aligned}
Aplicar Cramer:
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{-36}{-132}=\frac{36}{132}=\frac{3}{11},
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{-24}{-132}=\frac{24}{132}=\frac{2}{11},
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{12}{-132}=-\frac{12}{132}=-\frac{1}{11}.]

Passo 6

Resolver o Sistema 18.
Matriz dos coeficientes e vetor de termos:
A=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1\\[4pt] 4 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 2 & -3 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-1\\[4pt]-20\end{pmatrix}.
Calcular \det(A). Vou fazer por cofatores (expansão pela primeira linha) para garantir precisão:
\begin{aligned} \det(A) &= 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} -(-4)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}\\[6pt] &=1\cdot\big((-1)(-3)-2\cdot 2\big) +4\cdot\big(4(-3)-2\cdot 2\big) +1\cdot\big(4\cdot 2 -(-1)\cdot 2\big)\\[4pt] &=1\cdot(3-4) +4\cdot(-12-4) +1\cdot(8+2)\\[4pt] &=(-1) +4\cdot(-16) +10 = -1 -64 +10 = -55. \end{aligned}
Como \det(A)=-55\neq 0, aplicamos Cramer.
Calcular \det(A_x) (substitui 1ª coluna por b):
A_x=\begin{pmatrix}6 & -4 & 1\\[4pt]-1 & -1 & 2\\[4pt]-20 & 2 & -3\end{pmatrix}.
Sarrus (listando produtos):
\begin{aligned} \det(A_x) &= (6\cdot -1\cdot -3) + (-4\cdot 2\cdot -20) + (1\cdot -1\cdot 2)\\[4pt] &\quad -\big(1\cdot -1\cdot -20 + 6\cdot 2\cdot 2 + (-4)\cdot -1\cdot -3\big)\\[4pt] &= (18) + (160) + (-2) - (20 +24 +(-12))\\[4pt] &=176 - (20+24-12) =176 -32 =144. \end{aligned}
(Observei e computei cada produto para evitar erro de sinal.)
Calcular \det(A_y) (substitui 2ª coluna por b):
A_y=\begin{pmatrix}1 & 6 & 1\\[4pt]4 & -1 & 2\\[4pt]2 & -20 & -3\end{pmatrix}.
Sarrus:
\begin{aligned} \det(A_y) &= (1\cdot -1\cdot -3) + (6\cdot 2\cdot 2) + (1\cdot 4\cdot -20)\\[4pt] &\quad -\big(1\cdot -1\cdot 2 + 1\cdot 2\cdot -20 + 6\cdot 4\cdot -3\big)\\[4pt] &= (3) + (24) + (-80) - (-2 + -40 + -72)\\[4pt] &= -53 -(-114) = -53 +114 =61. \end{aligned}
Calcular \det(A_z) (substitui 3ª coluna por b):
A_z=\begin{pmatrix}1 & -4 & 6\\[4pt]4 & -1 & -1\\[4pt]2 & 2 & -20\end{pmatrix}.
Sarrus:
\begin{aligned} \det(A_z) &= (1\cdot -1\cdot -20) + (-4\cdot -1\cdot 2) + (6\cdot 4\cdot 2)\\[4pt] &\quad -\big(6\cdot -1\cdot 2 + 1\cdot -1\cdot 2 + (-4)\cdot 4\cdot -20\big)\\[4pt] &= (20) + (8) + (48) - (-12 + -2 + 320)\\[4pt] &=76 - (306) = -230. \end{aligned}
Aplicar Cramer:
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{144}{-55}=-\frac{144}{55},
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{61}{-55}=-\frac{61}{55},
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{-230}{-55}=\frac{230}{55}=\frac{46}{11}.]

Resposta

x_{1}=1,\;x_{2}=2
x=\dfrac{3}{11},\;y=\dfrac{2}{11},\;z=-\dfrac{1}{11}
x=-\dfrac{144}{55},\;y=-\dfrac{61}{55},\;z=\dfrac{46}{11}

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