Determine a equação da hipérbole cujos focos estão em (2,8) e (2,-4) e cujo comprimento do eixo transverso (distância entre os vértices) é 8.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos focos são (2,8) e (2,-4) e cujo eixo transverso tem comprimento 8. Aqui o conteúdo é seção cônica (hipérbole), e vamos precisar:
  1. determinar o centro como ponto médio dos focos;
  2. relacionar a metade da distância foco–foco (que é c) com o semieixo maior a e o semieixo menor b via
c^2 = a^2 + b^2.
Como os focos têm mesma abscissa x=2, o eixo transverse é vertical e a equação terá a forma
\frac{(y-k)^2}{a^2} \;-\;\frac{(x-h)^2}{b^2}=1.

Passo 2

O centro (h,k) da hipérbole é o ponto médio dos focos:
h = \frac{2+2}{2}=2, \quad k = \frac{8+(-4)}{2}=2.
Logo o centro é (2,2).

Passo 3

A distância entre os focos é
2c = \sqrt{(2-2)^2 + (8-(-4))^2} = \sqrt{0 + 12^2} = 12,
então \displaystyle c=6.

Passo 4

O enunciado diz que o comprimento do eixo transverso é 2a=8, logo \displaystyle a=4.

Passo 5

Usando a relação
c^2 = a^2 + b^2
temos
6^2 = 4^2 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad 36 = 16 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 20.

Passo 6

Como a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverso vertical), a equação no centro (2,2) é
\frac{(y-2)^2}{4^2} \;-\;\frac{(x-2)^2}{20} = 1.

Resposta

\frac{(y-2)^2}{16} \;-\;\frac{(x-2)^2}{20} = 1

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