Encontre a equação da hipérbole com centro em C(3,1), vértices em (8,1) e (-2,1), e focos em (9,1) e (-3,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujo centro é C(3,1), com vértices em (8,1) e (-2,1) e focos em (9,1) e (-3,1). Trata-se de uma hipérbole com eixo transverso horizontal. Para montarmos sua equação no formato padrão
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1
precisamos determinar a (distância do centro a cada vértice), c (distância do centro a cada foco) e então calcular b via c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Calcular a a partir dos vértices: cada vértice está a uma distância horizontal de 5 unidades do centro, pois
|8-3|=5\quad\text{e}\quad|-2-3|=5.
Logo,
a=5, \quad a^2=25.

Passo 3

Calcular c a partir dos focos: cada foco está a uma distância horizontal de 6 unidades do centro, pois
|9-3|=6\quad\text{e}\quad|-3-3|=6.
Logo,
c=6, \quad c^2=36.

Passo 4

Determinar b^2 usando a relação característica da hipérbole horizontal:
c^2 = a^2 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = c^2 - a^2 = 36 - 25 = 11.

Passo 5

Substituir h=3, k=1, a^2=25 e b^2=11 na forma padrão:
\frac{(x-3)^2}{25}-\frac{(y-1)^2}{11}=1.

Resposta

\frac{(x-3)^2}{25}-\frac{(y-1)^2}{11}=1

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