Determine a equação da hipérbole que tem vértices
e as equações das assíntotas são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que tem dois vértices em
e
, além das assíntotas dadas por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre hipérboles, como a forma padrão da equação da hipérbole e a relação entre seus elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Os vértices estão em
e
, então o centro fica no ponto médio entre eles. O ponto médio
pode ser calculado pela média das coordenadas dos vértices:
Então, o centro é
.
Passo 3
Como os vértices estão alinhados no eixo x e as assíntotas são
, sabemos que a hipérbole é horizontal. A forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal é:
Como o centro é
, a equação simplifica para:
Passo 4
Os vértices estão a uma distância
do centro. Como os vértices são
e
, temos que
. Então,
.
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole horizontal são dadas por:
Sabemos que as assíntotas são
. Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação padrão da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: