Determine a equação paramétrica da reta perpendicular às retas dadas:
x=3 t-7, \quad y=-2 t+4, \quad z=3 t+4
e
x=t+1, \quad y=2 t-9, \quad z=-t-12
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação paramétrica da reta que é perpendicular às duas retas dadas. As retas fornecidas são, com seus parâmetros (vou chamar o parâmetro da primeira de \,t_1 e o da segunda de \,t_2,):
Um ponto qualquer da reta 1 é \,P_1=(-7,\,4,\,4)\, (obtido tomando \,t_1=0) e seu vetor diretor é \,v_1=(3,\,-2,\,3)\,.
Um ponto qualquer da reta 2 é \,P_2=(1,\,-9,\,-12)\, (obtendo \,t_2=0) e seu vetor diretor é \,v_2=(1,\,2,\,-1)\,.
O que será feito: encontrar a reta que é perpendicular a ambas as retas dadas e que intersecta ambas (a chamada perpendicular comum). Para isso vamos achar dois pontos A\in reta 1 e B\in reta 2 tais que o vetor \overrightarrow{AB} seja perpendicular a v_1 e a v_2; a reta que passa por A e B terá, então, direção perpendicular a ambas.
Passo 2
Explicação do método (passo-a-passo conceitual):
Se um vetor é perpendicular a v_1 então o seu produto escalar com v_1 é zero. O mesmo vale para v_2.
Seja A=P_1+t v_1 um ponto genérico da reta 1 (com parâmetro t) e B=P_2+u v_2 um ponto genérico da reta 2 (com parâmetro u).
O vetor \overrightarrow{AB}=B-A = (P_2-P_1) + u v_2 - t v_1.
Impor que \overrightarrow{AB} seja perpendicular a v_1 e a v_2 dá duas equações escalares:\overrightarrow{AB}\cdot v_1=0,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot v_2=0.
Essas duas equações formam um sistema linear em t e u. Resolvendo-o obtemos os parâmetros t e u que definem os pontos A e B. A direção da perpendicular comum será então \overrightarrow{AB} (ou qualquer múltiplo).
Escrever as duas condições de perpendicularidade usando produto escalar. Com A=P_1+t v_1 e B=P_2+u v_2 temos \overrightarrow{AB}=w+u v_2 - t v_1. As equações são:
(w+u v_2 - t v_1)\cdot v_1 = 0,
(w+u v_2 - t v_1)\cdot v_2 = 0.
Expandindo cada produto escalar obtemos um sistema linear em t e u:
w\cdot v_1 + u (v_2\cdot v_1) - t (v_1\cdot v_1)=0,
w\cdot v_2 + u (v_2\cdot v_2) - t (v_1\cdot v_2)=0.
Portanto um vetor diretor mais simples e inteiro é d=(2,\,-3,\,-4). (Observação: o produto vetorial v_1\times v_2 também é paralelo a esse vetor, o que confirma a perpendicularidade comum.)
A reta perpendicular comum passa por A (ou por B) e tem vetor diretor d. Usando um parâmetro \,s para a nova reta, a equação paramétrica é:
Passo 9
Escrever explicitamente a equação paramétrica da reta perpendicular, tomando o ponto A e o vetor diretor d:
x = -\frac{200}{29} + 2s,
y = \frac{114}{29} - 3s,
z = \frac{119}{29} - 4s,
com s\in\mathbb{R}. Essa é a reta perpendicular às duas dadas e que intersecta ambas (a perpendicular comum).
Resposta
x = -\dfrac{200}{29} + 2s y = \dfrac{114}{29} - 3s z = \dfrac{119}{29} - 4s