Determine a equação paramétrica da reta perpendicular às retas dadas:
x=3 t-7, \quad y=-2 t+4, \quad z=3 t+4
e
x=t+1, \quad y=2 t-9, \quad z=-t-12

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação paramétrica da reta que é perpendicular às duas retas dadas. As retas fornecidas são, com seus parâmetros (vou chamar o parâmetro da primeira de \,t_1 e o da segunda de \,t_2,):
\text{Reta 1: } x=3t_1-7,\quad y=-2t_1+4,\quad z=3t_1+4.
\text{Reta 2: } x=t_2+1,\quad y=2t_2-9,\quad z=-t_2-12.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um ponto qualquer da reta 1 é \,P_1=(-7,\,4,\,4)\, (obtido tomando \,t_1=0) e seu vetor diretor é \,v_1=(3,\,-2,\,3)\,.
  • Um ponto qualquer da reta 2 é \,P_2=(1,\,-9,\,-12)\, (obtendo \,t_2=0) e seu vetor diretor é \,v_2=(1,\,2,\,-1)\,.
O que será feito: encontrar a reta que é perpendicular a ambas as retas dadas e que intersecta ambas (a chamada perpendicular comum). Para isso vamos achar dois pontos A\in reta 1 e B\in reta 2 tais que o vetor \overrightarrow{AB} seja perpendicular a v_1 e a v_2; a reta que passa por A e B terá, então, direção perpendicular a ambas.

Passo 2

Explicação do método (passo-a-passo conceitual):
  • Se um vetor é perpendicular a v_1 então o seu produto escalar com v_1 é zero. O mesmo vale para v_2.
  • Seja A=P_1+t v_1 um ponto genérico da reta 1 (com parâmetro t) e B=P_2+u v_2 um ponto genérico da reta 2 (com parâmetro u).
  • O vetor \overrightarrow{AB}=B-A = (P_2-P_1) + u v_2 - t v_1.
  • Impor que \overrightarrow{AB} seja perpendicular a v_1 e a v_2 dá duas equações escalares: \overrightarrow{AB}\cdot v_1=0,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot v_2=0.
  • Essas duas equações formam um sistema linear em t e u. Resolvendo-o obtemos os parâmetros t e u que definem os pontos A e B. A direção da perpendicular comum será então \overrightarrow{AB} (ou qualquer múltiplo).

Passo 3

Calcular os vetores e o vetor inicial w=P_2-P_1:
v_1=(3,-2,3),\qquad v_2=(1,2,-1),
P_1=(-7,4,4),\qquad P_2=(1,-9,-12),
w=P_2-P_1=(1-(-7),\,-9-4,\,-12-4)=(8,\,-13,\,-16).

Passo 4

Escrever as duas condições de perpendicularidade usando produto escalar. Com A=P_1+t v_1 e B=P_2+u v_2 temos \overrightarrow{AB}=w+u v_2 - t v_1. As equações são:
(w+u v_2 - t v_1)\cdot v_1 = 0,
(w+u v_2 - t v_1)\cdot v_2 = 0.
Expandindo cada produto escalar obtemos um sistema linear em t e u:
w\cdot v_1 + u (v_2\cdot v_1) - t (v_1\cdot v_1)=0,
w\cdot v_2 + u (v_2\cdot v_2) - t (v_1\cdot v_2)=0.

Passo 5

Calcular os produtos escalares necessários:
v_1\cdot v_1 = 3^2+(-2)^2+3^2 = 9+4+9=22,
v_1\cdot v_2 = 3\cdot1 + (-2)\cdot2 + 3\cdot(-1) = 3-4-3 = -4,
v_2\cdot v_2 = 1^2+2^2+(-1)^2 = 1+4+1=6,
w\cdot v_1 = 8\cdot3 + (-13)\cdot(-2) + (-16)\cdot3 = 24+26-48 = 2,
w\cdot v_2 = 8\cdot1 + (-13)\cdot2 + (-16)\cdot(-1) = 8-26+16 = -2.
Substituindo nas equações do passo anterior obtemos o sistema:
2 + u(-4) - t(22)=0,
-2 + u(6) - t(-4)=0.
Ou reescrevendo de forma mais clara:
22t + 4u = 2,
4t + 6u = 2.

Passo 6

Resolver o sistema linear. Da segunda equação:
4t + 6u = 2 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{2-6u}{4} = \frac{1-3u}{2}.
Substituindo na primeira:
22\left(\frac{1-3u}{2}\right) + 4u = 2.
Multiplicando por 2:
22(1-3u) + 8u = 4 \quad\Rightarrow\quad 22 -66u +8u = 4.
22 -58u = 4 \quad\Rightarrow\quad -58u = -18 \quad\Rightarrow\quad u = \frac{9}{29}.
Agora t:
t = \frac{1-3u}{2} = \frac{1 - 3\cdot\frac{9}{29}}{2} = \frac{1 - \frac{27}{29}}{2} = \frac{\frac{2}{29}}{2} = \frac{1}{29}.

Passo 7

Calcular os pontos A\in reta 1 e B\in reta 2 usando os parâmetros encontrados.
Para t=\dfrac{1}{29} na reta 1:
A = P_1 + t v_1 = (-7,4,4) + \frac{1}{29}(3,-2,3).
Fazendo as contas componente a componente:
x_A = -7 + \frac{3}{29} = -\frac{203}{29} + \frac{3}{29} = -\frac{200}{29},
y_A = 4 - \frac{2}{29} = \frac{116}{29} - \frac{2}{29} = \frac{114}{29},
z_A = 4 + \frac{3}{29} = \frac{116}{29} + \frac{3}{29} = \frac{119}{29}.
Assim A=\left(-\dfrac{200}{29},\,\dfrac{114}{29},\,\dfrac{119}{29}\right).
Para u=\dfrac{9}{29} na reta 2:
B = P_2 + u v_2 = (1,-9,-12) + \frac{9}{29}(1,2,-1).
Componentes:
x_B = 1 + \frac{9}{29} = \frac{29}{29} + \frac{9}{29} = \frac{38}{29},
y_B = -9 + \frac{18}{29} = -\frac{261}{29} + \frac{18}{29} = -\frac{243}{29},
z_B = -12 - \frac{9}{29} = -\frac{348}{29} - \frac{9}{29} = -\frac{357}{29}.
Então B=\left(\dfrac{38}{29},\,-\dfrac{243}{29},\,-\dfrac{357}{29}\right).

Passo 8

Determinar o vetor direção da perpendicular comum: \overrightarrow{AB}=B-A.
\overrightarrow{AB} = \left(\frac{38}{29} + \frac{200}{29},\; -\frac{243}{29} - \frac{114}{29},\; -\frac{357}{29} - \frac{119}{29}\right) = \frac{1}{29}(238,\,-357,\,-476).
Fatorando 119 obtemos
\overrightarrow{AB} = \frac{119}{29}(2,\,-3,\,-4).
Portanto um vetor diretor mais simples e inteiro é d=(2,\,-3,\,-4). (Observação: o produto vetorial v_1\times v_2 também é paralelo a esse vetor, o que confirma a perpendicularidade comum.)
A reta perpendicular comum passa por A (ou por B) e tem vetor diretor d. Usando um parâmetro \,s para a nova reta, a equação paramétrica é:

Passo 9

Escrever explicitamente a equação paramétrica da reta perpendicular, tomando o ponto A e o vetor diretor d:
x = -\frac{200}{29} + 2s,
y = \frac{114}{29} - 3s,
z = \frac{119}{29} - 4s,
com s\in\mathbb{R}. Essa é a reta perpendicular às duas dadas e que intersecta ambas (a perpendicular comum).

Resposta

x = -\dfrac{200}{29} + 2s
y = \dfrac{114}{29} - 3s
z = \dfrac{119}{29} - 4s

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