Forneça uma base ortonormal \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, tal que as duas condições sejam satisfeitas:
i) \vec{v}_{1} \perp(0,1,1),
ii) \quad \vec{v}_{2} \in\{t(0,1,1)+s(1,0,3): s, t \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pedido: fornecer uma base ortonormal \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} de \mathbb{R}^{3} tal que:
    1. \vec{v}_{1}\perp(0,1,1).
    2. \vec{v}_{2}\in\{t(0,1,1)+s(1,0,3):s,t\in\mathbb{R}\} (ou seja, \vec{v}_{2} pertence ao subespaço gerado por (0,1,1) e (1,0,3)).
  • Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
    • Definir a=(0,1,1).
    • Definir b=(1,0,3).
  • Restrições da solução: a base deve ser ortonormal, isto é, cada \vec{v}_i tem norma 1 e \vec{v}_i\cdot\vec{v}_j=0 para i\ne j.

Passo 2

Noções úteis (aula rápida e prática).
  • Produto escalar (dot product): para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar é zero.
  • Norma: \|u\|=\sqrt{u\cdot u}.
  • Vetor unitário: para u\neq 0, o vetor unitário na direção de u é \dfrac{u}{\|u\|}.
  • Produto vetorial (cross product): para u,v\in\mathbb{R}^3, o vetor u\times v é ortogonal a u e a v. Pode ser calculado por u\times v = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}.Assim, u\times v é útil quando se quer um vetor perpendicular a dois vetores dados.
  • Estratégia concreta (sem pular passos): escolher \vec{v}_1 como vetor unitário perpendicular ao plano gerado por a e b (logo perpendicular a a e a b) usando o produto vetorial a\times b; escolher \vec{v}_2 como um vetor unitário ao longo de a (que pertence ao subespaço pedido); então obter \vec{v}_3 como o vetor unitário perpendicular a \vec{v}_1 e \vec{v}_2 (por exemplo usando produto vetorial entre \vec{v}_1 e \vec{v}_2). Isso garante ortogonalidade e normais iguais a 1.

Passo 3

Calcular \vec{v}_1 como normal ao plano gerado por a=(0,1,1) e b=(1,0,3).
  • Primeiro calculamos o produto vetorial a\times b. Usando a fórmula do determinante: a\times b = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \bigl(1\cdot 3 - 1\cdot 0,\; -(0\cdot 3 - 1\cdot 1),\; 0\cdot 0 - 1\cdot 1\bigr).Portanto a\times b = (3,\,1,\,-1).
  • Norma de a\times b: \|a\times b\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}.
  • Normalizamos para obter \vec{v}_1: \vec{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{11}}(3,\,1,\,-1).
  • Verificação rápida de que \vec{v}_1\perp a: calcular a\cdot(3,1,-1)=0\cdot3+1\cdot1+1\cdot(-1)=0. Como o produto escalar é zero, \vec{v}_1 é ortogonal a a=(0,1,1), satisfazendo a condição (i). (Também é ortogonal a b por construção.)

Passo 4

Escolher \vec{v}_2 dentro do subespaço gerado por a e b e normalizá-lo.
  • Uma escolha simples e direta para garantir \vec{v}_2\in\text{span}\{a,b\} é tomar \vec{v}_2 colinear a a=(0,1,1). Então: \|\;a\;\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.Normalize: \vec{v}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,\,1,\,1).
  • Como \vec{v}_1 é perpendicular ao plano gerado por a,b, em particular \vec{v}_1\perp a, logo \vec{v}_1\perp \vec{v}_2. Assim \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são ortogonais e têm norma 1.

Passo 5

Construir \vec{v}_3 completando a base ortonormal.
  • Para obter o terceiro vetor, basta tomar o produto vetorial entre \vec{v}_1 e \vec{v}_2 (o resultado já será ortogonal a ambos). Vamos usar a versão não normalizada já encontrada antes para simplificar: calculamos (a\times b)\times a ou diretamente (3,1,-1)\times(0,1,1). Já que (3,1,-1) é perpendicular ao plano, cruzá-lo com a produz um vetor no plano e perpendicular a a, isto é, um candidato para \vec{v}_3.
  • Calcule: (3,1,-1)\times(0,1,1) =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} =(1\cdot 1 - (-1)\cdot 1,\; -(3\cdot 1 - (-1)\cdot 0),\; 3\cdot 1 - 1\cdot 0).Logo (3,1,-1)\times(0,1,1) = (2,\,-3,\,3).
  • Norma desse vetor: \sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}.
  • Normalizamos para obter \vec{v}_3: \vec{v}_3=\frac{1}{\sqrt{22}}(2,\,-3,\,3).
  • Verificações rápidas:
    • \vec{v}_3 está no plano gerado por a,b (pois gerado por cruzar vetor perpendicular ao plano com vetor do plano).
    • \vec{v}_3\cdot\vec{v}_2=0 (pode verificar: (0,1,1)\cdot(2,-3,3)=0), e \vec{v}_3\cdot\vec{v}_1=0 por construção. Todas as normas são 1. Assim \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é uma base ortonormal.

Resposta

\vec{v}_1=\dfrac{1}{\sqrt{11}}(3,\,1,\,-1)
\vec{v}_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(0,\,1,\,1)
\vec{v}_3=\dfrac{1}{\sqrt{22}}(2,\,-3,\,3)

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