Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. c) que passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão aqui pede para determinarmos a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar nessa equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar a equação de um plano no espaço tridimensional, a gente precisa de um ponto que pertence ao plano e um vetor normal a ele. Como temos três pontos, vamos usar dois deles para criar vetores dentro do plano e, a partir desses, encontrar o vetor normal.
Passo 3
Vamos começar encontrando dois vetores que estão no plano. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Vetor
Vetor
Esses vetores e estão no plano que queremos encontrar.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular esse produto:
Simplificando:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 5:
Passo 5
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o ponto 0(x - (-2)) + 2(y - 1) -1(z - 1) = 0 pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
0(x + 2) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0 0 + 2y - 2 - z + 1 = 0 2y - z -1 = 0
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto dado.