Determine uma equação do plano nos casos citados.
64. c) que passa pelos pontos A(-2,1,1), B(0,2,3) e C(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão aqui pede para determinarmos a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar nessa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a equação de um plano no espaço tridimensional, a gente precisa de um ponto que pertence ao plano e um vetor normal a ele. Como temos três pontos, vamos usar dois deles para criar vetores dentro do plano e, a partir desses, encontrar o vetor normal.

Passo 3

Vamos começar encontrando dois vetores que estão no plano. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
  • Vetor
  • Vetor
Esses vetores e estão no plano que queremos encontrar.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores n = AB times AC e n = i & j & k 2 & 1 & 2 3 & -1 & -2 = i(1 cdot (-2) - 2 cdot (-1)) - j(2 cdot (-2) - 2 cdot 3) + k(2 cdot (-1) - 1 cdot 3) . Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
n = i(-2 + 2) - j(-4 -6) + k(-2 -3) = i(0) - j(-10) + k(-5) = (0, 10, -5)
Vamos calcular esse produto:
n = (0, 2, -1)
Simplificando:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 5:

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o ponto 0(x - (-2)) + 2(y - 1) -1(z - 1) = 0 pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
0(x + 2) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0 0 + 2y - 2 - z + 1 = 0 2y - z -1 = 0
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto dado.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:
2y - z - 1 = 0

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