Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
65. e) determinado pelo ponto P(3,-1,2) e pela reta x=t, y=2-t, z=3+2 t.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação de um plano. A gente vai usar geometria analítica, especificamente sobre equações de planos. Para isso, vamos precisar de um ponto no plano e de uma reta contida no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos:
  • Ponto no plano:
  • Reta no plano: As equações paramétricas são , ,
Nossa missão é achar a equação do plano que passa por esse ponto e contém essa reta.

Passo 3

Para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que é perpendicular ao plano. Para encontrar esse vetor normal, vamos precisar de dois vetores que estão no plano.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar um vetor que está na reta. A reta é dada por u = 1 -1 2 , , . Podemos escrever o vetor direção da reta observando os coeficientes de :

Passo 5

Agora, vamos pegar um ponto qualquer na reta para formar o segundo vetor. Vamos escolher :
  • Quando : , ,
  • Então, temos o ponto na reta.

Passo 6

Agora, vamos formar um vetor que vai de v = Q - P = 0 - 3 2 - (-1) 3 - 2 = -3 3 1 até :

Passo 7

Agora temos dois vetores no plano:
  • 1 -1 2
  • -3 3 1
Para encontrar o vetor normal n = u times v ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = i & j & k 1 & -1 & 2 -3 & 3 & 1 = i cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot 3) - j cdot (1 cdot 1 - 2 cdot (-3)) + k cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot (-3))
Vamos calcular:
n = i cdot (-1 - 6) - j cdot (1 + 6) + k cdot (3 - 3) = -7i -7j +0k = -7 -7 0
Simplificando:
n = 1 1 0
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -7:

Passo 8

Agora que temos o vetor normal 1 1 0 e um ponto a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 no plano, podemos usar a fórmula da equação do plano:
1(x - 3) + 1(y + 1) + 0(z - 2) = 0
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo:

Resposta

A equação do plano é:
x + y - 2 = 0

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