Determine a equação do plano que contém os pontos
e
e é perpendicular ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelos pontos
e
e que é perpendicular ao plano
.
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço 3D, especificamente sobre equações de planos, vetores normais e perpendicularidade entre planos.
O que vamos precisar: Vectors, produto escalar e as condições que definem a perpendicularidade entre dois planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os pontos
e
. Esse vetor será paralelo ao nosso plano.
Passo 3
Sabemos que o plano que queremos é perpendicular ao plano
. O vetor normal desse plano
é dado pelos coeficientes de
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos chamar o vetor normal do nosso plano de
. Como nosso plano contém os pontos
e
, o vetor
está no plano e, portanto, é perpendicular ao vetor normal
:
Além disso, como os planos são perpendiculares, os vetores normais também são perpendiculares:
Passo 5
Vamos montar as equações a partir desses produtos escalares:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
Passo 7
Então, o vetor normal
pode ser expresso como:
Podemos escolher
para simplificar:
Passo 8
Agora, usando a forma geral da equação do plano:
Onde
é um ponto no plano, vamos usar o ponto
:
Expandindo:
Resposta
A equação do plano é: