Determine a equação do plano que passa pelo ponto \mathrm{A}(3,5,0) e é:
ortogonal aos planos: x+y+2 z-2=0 e x-y+z - 3 = 0
Resp.: a) 2 x+y-3 z-11=0 b) 3 x+y-2 z-14=0

Passo 1

O enunciado pede o plano que passa por A(3,5,0) e é ortogonal aos planos
P_1: x+y+2z-2=0
e
P_2: x-y+z-3=0.
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3. Dois planos são ortogonais se os vetores normais são perpendiculares (produto escalar zero).

Passo 2

Anotamos os normais dos planos dados:
n_1 = (1,1,2), \quad n_2 = (1,-1,1).
Seja n=(a,b,c) o normal do plano buscado. Como ele deve ser ortogonal a P_1 e a P_2, temos
n\cdot n_1 = a\cdot1 + b\cdot1 + c\cdot2 = 0,
n\cdot n_2 = a\cdot1 + b\cdot(-1) + c\cdot1 = 0.

Passo 3

Para achar rapidamente n que satisfaça essas duas condições, usamos o produto vetorial
n = n_1 \times n_2 = (1,1,2)\times(1,-1,1) = (3,\,1,\,-2).
Verifique-se que (3,1,-2)\cdot(1,1,2)=3+1-4=0 e (3,1,-2)\cdot(1,-1,1)=3-1-2=0.

Passo 4

A equação geral do plano com normal n=(3,1,-2) é
3x + y - 2z + d = 0.
Como passa por A(3,5,0), substituímos:
3\cdot3 + 1\cdot5 -2\cdot0 + d = 0 \;\Longrightarrow\; 14 + d = 0 \;\Longrightarrow\; d = -14.
Logo o plano é
3x + y - 2z - 14 = 0.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, corresponde à letra (b).

Resposta

b) 3x + y - 2z - 14 = 0

Exercícios relacionados