Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) :
E é perpendiular ao plano \pi: 2 x+y-z+8=0.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e que é perpendicular ao plano \pi: 2x+y-z+8=0.
Informações dadas:
Ponto A com coordenadas (-3,1,-2).
Ponto B com coordenadas (-1,2,1).
Plano \pi tem equação \,2x+y-z+8=0, logo seu vetor normal é \mathbf{n}_{\pi}=(2,1,-1).
O que precisamos encontrar:
A equação do plano pedido (uma equação linear em x,y,z) que satisfaça as três condições: contém A, contém B e é perpendicular a \pi.
Passo 2
Entender a condição "o plano contém A e B".
Se um plano contém os pontos A e B, ele contém a reta que passa por A e B. A direção dessa reta é o vetor \overrightarrow{AB}, dado por
Entender a condição "o plano é perpendicular ao plano \pi".
Duas planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares. Assim, se \mathbf{n} é o vetor normal do plano procurado, então deve valer
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{\pi}=0.
Além disso, porque o plano contém a reta com direção \overrightarrow{AB}, seu normal \mathbf{n} também deve ser perpendicular a \overrightarrow{AB}, isto é
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0.
Portanto procuramos um vetor \mathbf{n} que seja perpendicular simultaneamente a \overrightarrow{AB}=(2,1,3) e a \mathbf{n}_{\pi}=(2,1,-1).
Passo 4
Como achar um vetor perpendicular a dois vetores dados?
O produto vetorial (cross product) de dois vetores fornece um vetor ortogonal a ambos. Logo podemos tomar