Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) :
E é perpendiular ao plano \pi: 2 x+y-z+8=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e que é perpendicular ao plano \pi: 2x+y-z+8=0.
Informações dadas:
  • Ponto A com coordenadas (-3,1,-2).
  • Ponto B com coordenadas (-1,2,1).
  • Plano \pi tem equação \,2x+y-z+8=0, logo seu vetor normal é \mathbf{n}_{\pi}=(2,1,-1).
O que precisamos encontrar:
  • A equação do plano pedido (uma equação linear em x,y,z) que satisfaça as três condições: contém A, contém B e é perpendicular a \pi.

Passo 2

Entender a condição "o plano contém A e B".
Se um plano contém os pontos A e B, ele contém a reta que passa por A e B. A direção dessa reta é o vetor \overrightarrow{AB}, dado por
\overrightarrow{AB}=B-A.
Calculemos \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB} = (-1-(-3),\;2-1,\;1-(-2)) = (2,\,1,\,3).

Passo 3

Entender a condição "o plano é perpendicular ao plano \pi".
Duas planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares. Assim, se \mathbf{n} é o vetor normal do plano procurado, então deve valer
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{\pi}=0.
Além disso, porque o plano contém a reta com direção \overrightarrow{AB}, seu normal \mathbf{n} também deve ser perpendicular a \overrightarrow{AB}, isto é
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0.
Portanto procuramos um vetor \mathbf{n} que seja perpendicular simultaneamente a \overrightarrow{AB}=(2,1,3) e a \mathbf{n}_{\pi}=(2,1,-1).

Passo 4

Como achar um vetor perpendicular a dois vetores dados?
O produto vetorial (cross product) de dois vetores fornece um vetor ortogonal a ambos. Logo podemos tomar
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\mathbf{n}_{\pi}.
Esse \mathbf{n} será um candidato natural para o vetor normal do plano que buscamos.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\mathbf{n}_{\pi}. Usamos a fórmula determinantal:
\overrightarrow{AB}\times\mathbf{n}_{\pi}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\overrightarrow{AB}\times\mathbf{n}_{\pi} = \mathbf{i}(1\cdot(-1)-3\cdot1) - \mathbf{j}(2\cdot(-1)-3\cdot2) + \mathbf{k}(2\cdot1-1\cdot2).
Calculando cada componente:
\mathbf{i}(-1-3) - \mathbf{j}(-2-6) + \mathbf{k}(2-2) = -4\mathbf{i} +8\mathbf{j} +0\mathbf{k}.
Portanto
\mathbf{n}=(-4,\,8,\,0).

Passo 6

Podemos simplificar o vetor normal dividindo por um fator comum. Dividindo por 4 obtemos um vetor proporcional mais simples:
\mathbf{n}=(-1,\,2,\,0).
Qualquer múltiplo de \mathbf{n} serve como vetor normal do plano; usamos este por ser mais simples.

Passo 7

Agora usamos a forma ponto-normal da equação do plano. Se \mathbf{n}=(a,b,c) é o normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Vamos usar o ponto A(-3,1,-2) e \mathbf{n}=(-1,2,0). Substituindo:
-1\bigl(x-(-3)\bigr)+2\bigl(y-1\bigr)+0\bigl(z-(-2)\bigr)=0.
Simplificando os parênteses:
-1(x+3)+2(y-1)+0(z+2)=0.
Expandindo:
-x-3+2y-2+0=0.
Juntando termos:
-x+2y-5=0.

Passo 8

Multiplicando por -1 para uma forma mais usual:
x-2y+5=0.
Verificações rápidas (úteis na hora da prova):
  • O ponto A(-3,1,-2) satisfaz \,x-2y+5 = -3 -2\cdot1 +5 =0. OK.
  • O ponto B(-1,2,1) satisfaz \,x-2y+5 = -1 -2\cdot2 +5 =0. OK.
  • O normal do plano obtido é (1,-2,0) (multiplicando por -1 dá o mesmo sentido), e o produto escalar com \mathbf{n}_{\pi}=(2,1,-1) é
(1,-2,0)\cdot(2,1,-1)=2-2+0=0,
ou seja, os planos são perpendiculares. OK.

Resposta

x-2y+5=0

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