Seja
comutativo com
. Prove que se
possui apenas um ideal maximal
(dizemos que R é anel local), então todo elemento de
é uma unidade. Dica: use que todo ideal está contido num ideal maximal. Isso vale para todo anel com
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um anel comutativo com . -
possui exatamente um ideal maximal, que chamamos de .
O que devemos provar: - Mostrar que todo elemento de
é uma unidade (ou seja, tem inverso multiplicativo em ).
Observação que vamos usar (a dica): todo ideal próprio de
está contido em algum ideal maximal. Esta é uma afirmação geral válida em anéis com
(prova clássica via Lema de Zorn); usaremos essa propriedade sem repetir sua demonstração completa.
Passo 2
Definições importantes e relação básica que vamos usar (explicadas com calma):
- Dizemos que
é uma unidade se existe tal que . Nesse caso é o inverso multiplicativo de . - Para um elemento
, o ideal principal gerado por é . Esse é um ideal de . - Fato-chave (muito usado):
se e somente se é unidade. Explicando por que: - Se
, então . Logo existe tal que . Assim é o inverso de , logo é unidade. - Reciprocamente, se
é unidade com inverso , então , logo .
Esse pequeno lema mostra que provar queé equivalente a provar que é invertível.
- Se
Passo 3
Agora pego um elemento arbitrário
e raciocino sobre o ideal
.
- Suponha, por contradição, que
seja um ideal próprio (ou seja, ). Então, pela propriedade que vamos usar, existe algum ideal maximal com . - Mas o enunciado diz que existe um único ideal maximal, que é
. Portanto esse só pode ser . Assim . - Se
, então em particular , o que contradiz a hipótese . - Logo a suposição de que
é um ideal próprio é falsa. Portanto necessariamente .
Passo 4
Aplicando o Lema do Passo 2 ao resultado do Passo 3:
- Como
, existe tal que . - Isso mostra que
tem inverso multiplicativo em , ou seja, é uma unidade. - Como
foi escolhido de forma arbitrária, concluímos que todo elemento de é unidade.
Passo 5
Interpretação final e observação adicional para fixar a ideia (exemplo mental):
- Em um anel local (anel com um único ideal maximal
) os elementos que não estão em são exatamente as unidades; os elementos que não são unidades formam o ideal maximal . - Exemplo familiar: no anel de frações localizado em um primo
, , o único ideal maximal é formado pelas classes dos múltiplos de e os elementos que não são múltiplos de são unidades — comportamento análogo ao que acabamos de provar.
Resposta
Todo elemento de
é uma unidade.