Seja R comutativo com 1 \neq 0. Prove que se R possui apenas um ideal maximal M (dizemos que R é anel local), então todo elemento de \mathrm{R} \backslash \mathrm{M} é uma unidade. Dica: use que todo ideal está contido num ideal maximal. Isso vale para todo anel com 1 \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • R é um anel comutativo com 1\neq 0.
  • R possui exatamente um ideal maximal, que chamamos de M.
    O que devemos provar:
  • Mostrar que todo elemento de R\setminus M é uma unidade (ou seja, tem inverso multiplicativo em R).
Observação que vamos usar (a dica): todo ideal próprio de R está contido em algum ideal maximal. Esta é uma afirmação geral válida em anéis com 1\neq 0 (prova clássica via Lema de Zorn); usaremos essa propriedade sem repetir sua demonstração completa.

Passo 2

Definições importantes e relação básica que vamos usar (explicadas com calma):
  • Dizemos que u\in R é uma unidade se existe v\in R tal que uv=1. Nesse caso v é o inverso multiplicativo de u.
  • Para um elemento a\in R, o ideal principal gerado por a é (a)=\{ra : r\in R\}. Esse é um ideal de R.
  • Fato-chave (muito usado): (a)=R se e somente se a é unidade. Explicando por que:
    • Se (a)=R, então 1\in (a). Logo existe r\in R tal que ra=1. Assim r é o inverso de a, logo a é unidade.
    • Reciprocamente, se a é unidade com inverso r, então 1=ra\in (a), logo (a)=R.
      Esse pequeno lema mostra que provar que (a)=R é equivalente a provar que a é invertível.

Passo 3

Agora pego um elemento arbitrário a\in R\setminus M e raciocino sobre o ideal (a).
  • Suponha, por contradição, que (a) seja um ideal próprio (ou seja, (a)\neq R). Então, pela propriedade que vamos usar, existe algum ideal maximal N com (a)\subseteq N.
  • Mas o enunciado diz que existe um único ideal maximal, que é M. Portanto esse N só pode ser M. Assim (a)\subseteq M.
  • Se (a)\subseteq M, então em particular a\in (a)\subseteq M, o que contradiz a hipótese a\notin M.
  • Logo a suposição de que (a) é um ideal próprio é falsa. Portanto necessariamente (a)=R.

Passo 4

Aplicando o Lema do Passo 2 ao resultado do Passo 3:
  • Como (a)=R, existe r\in R tal que ra=1.
  • Isso mostra que a tem inverso multiplicativo em R, ou seja, a é uma unidade.
  • Como a\in R\setminus M foi escolhido de forma arbitrária, concluímos que todo elemento de R\setminus M é unidade.

Passo 5

Interpretação final e observação adicional para fixar a ideia (exemplo mental):
  • Em um anel local (anel com um único ideal maximal M) os elementos que não estão em M são exatamente as unidades; os elementos que não são unidades formam o ideal maximal M.
  • Exemplo familiar: no anel de frações localizado em um primo p, \mathbb{Z}_{(p)}, o único ideal maximal é formado pelas classes dos múltiplos de p e os elementos que não são múltiplos de p são unidades — comportamento análogo ao que acabamos de provar.

Resposta

Todo elemento de R\setminus M é uma unidade.

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