Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)=-2 x^2+3 y^2 no ponto (1,-2, f(1,-2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = -2x^2 + 3y^2 no ponto (1, -2, f(1, -2)) . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano nessa posição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(1, -2) para saber a coordenada z do ponto dado.
f(1, -2) = -2(1)^2 + 3(-2)^2 = -2(1) + 3(4) = -2 + 12 = 10
Então, o ponto no espaço é (1, -2, 10) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
A derivada parcial em relação a x é:
fx(x, y) = partialpartial x (-2x^2 + 3y^2) = -4x
E a derivada parcial em relação a y é:
fy(x, y) = partialpartial y (-2x^2 + 3y^2) = 6y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, -2) :
fx(1, -2) = -4(1) = -4
fy(1, -2) = 6(-2) = -12

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z = 10 + (-4)(x - 1) + (-12)(y - (-2))

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
z = 10 - 4(x - 1) - 12(y + 2)
z = 10 - 4x + 4 - 12y - 24
z = -4x - 12y - 10

Resposta

A equação do plano tangente é:
z = -4x - 12y - 10

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