Esboce o gráfico.
f(x)=|x+11-|x|

Passo 1

O enunciado quer o esboço do gráfico da função
f(x)=l|,x+11-lvert xrvertr|
O conteúdo aqui é análise de valor absoluto aninhado, que fazemos dividindo em casos e obtendo uma função por partes antes de desenhar.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=x+11-lvert xrvert
de modo que f(x)=lvert g(x)rvert.
Para x>=0 temos lvert xrvert=x, logo
g(x)=x+11-x=11
e portanto
f(x)=lvert 11rvert=11
para todo x>=0.

Passo 3

Para x<0 vale lvert xrvert=-x, de modo que
g(x)=x+11-(-x)=2x+11
e então
f(x)=llvert 2x+11rrvert
quando x<0.

Passo 4

Agora desdobramos o caso x<0 segundo o sinal de 2x+11. A raiz de 2x+11=0 é x=-tfrac112.
  • Se x<-tfrac112, então 2x+11<0 e f(x)=-(2x+11)=-2x-11
  • Se -tfrac112<= x<0, então 2x+11>=0 e f(x)=2x+11

Passo 5

Reunindo tudo,
Verificamos que em a função é contínua, pois atinge valor no primeiro ponto e no segundo pelos dois lados.

Passo 6

No esboço, sai-se de +infty em xto-infty pela reta de inclinação -2 descendo até (-tfrac112,0), depois sobe pela reta de inclinação 2 até (0,11) e daí segue linha horizontal f(x)=11 para x>=0.

Resposta

f(x)= -2x-11, & x<-tfrac112, 2x+11, & -tfrac112<= x<0, 11, & x>=0
O gráfico é formado por três segmentos: reta decrescente de inclinação -2 até (-tfrac112,0), reta crescente de inclinação 2 até (0,11) e reta horizontal constante 11 para x>=0.

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