Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
z=4 x^{2}+y^{2}-2 y no ponto (1,1,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = 4x^{2} + y^{2} - 2y
no ponto (1,1,3). Como a superfície está dada por z = f(x,y), vamos usar a fórmula do plano tangente em função das derivadas parciais de f em (x_{0},y_{0}).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
f(x,y) = 4x^{2} + y^{2} - 2y:
f_{x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}+y^{2}-2y) = 8x,
f_{y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}+y^{2}-2y) = 2y - 2.

Passo 3

Avaliando em (x_{0},y_{0})=(1,1):
f_{x}(1,1) = 8\cdot1 = 8,
f_{y}(1,1) = 2\cdot1 - 2 = 0.

Passo 4

A equação geral do plano tangente é
z - f(1,1) = f_{x}(1,1)\,(x-1) \;+\; f_{y}(1,1)\,(y-1).
Como f(1,1)=4\cdot1^{2}+1^{2}-2\cdot1=3, substituímos:
z - 3 = 8\,(x-1) + 0\,(y-1) \quad\Longrightarrow\quad z - 3 = 8\,(x-1).

Passo 5

Simplificando a última expressão:
z - 3 = 8x - 8
z = 8x - 5.

Resposta

A equação do plano tangente é
\boxed{z = 8x - 5}.

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