Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
z=4 x^{2}+y^{2}-2 y no ponto (1,-1,7).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície
z = 4x^{2} + y^{2} - 2y
no ponto (1,-1,7).
O conteúdo aqui é o plano tangente a um gráfico de função de duas variáveis, que usa as derivadas parciais de f(x,y).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de
f(x,y) = 4x^{2} + y^{2} - 2y.
A derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 8x,
e em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2y - 2.

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x_{0},y_{0}) = (1,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1) = 8\cdot1 = 8,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,-1) = 2\cdot(-1) - 2 = -4.

Passo 4

A fórmula do plano tangente é
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) \;+\; f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).
Substituindo z_{0}=7, f_{x}(1,-1)=8, f_{y}(1,-1)=-4, x_{0}=1 e y_{0}=-1, fica
z - 7 = 8\,(x - 1) \;-\; 4\,(y + 1).

Passo 5

Bastapois simplificar:
z - 7 = 8x - 8 \;-\; 4y - 4 \quad\Longrightarrow\quad z = 8x - 4y - 5.

Resposta

z = 8x - 4y - 5

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