Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado: z=e^{x^{2}+y^{2}} no ponto \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, e\right).
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = e^{x^2+y^2}
no ponto \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}, e\bigr).
Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter os coeficientes da aproximação linear e aplicar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de z em função de x e y. Como z = e^{x^2+y^2}, temos