Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
z=e^{x^{2}+y^{2}} no ponto \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, e\right).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = e^{x^2+y^2}
no ponto \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}, e\bigr).
Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter os coeficientes da aproximação linear e aplicar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em função de x e y. Como z = e^{x^2+y^2}, temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}e^{x^2+y^2} = 2x\,e^{x^2+y^2},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}e^{x^2+y^2} = 2y\,e^{x^2+y^2}.

Passo 3

No ponto \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) temos x^2+y^2=1, logo e^{x^2+y^2}=e. Assim,
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2})} = 2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,e = \sqrt{2}\,e, \quad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2})} = 2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,e = \sqrt{2}\,e.

Passo 4

A fórmula do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é
z = z_0 + \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}(y-y_0).
Substituindo x_0=y_0=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, z_0=e e as derivadas avaliadas, obtemos
z = e + \sqrt{2}\,e\bigl(x-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) + \sqrt{2}\,e\bigl(y-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr).
Como \sqrt{2}\,e\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=e, simplifica-se para
z = \sqrt{2}\,e\,x + \sqrt{2}\,e\,y - e.

Resposta

A equação do plano tangente é
z = \sqrt{2}\,e\,x + \sqrt{2}\,e\,y - e.

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