Explique por que a função é diferenciável no ponto
dado. A seguir, encontre a linearização da função no dado ponto:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é diferenciável no ponto
e, em seguida, obter a linearização de
em
.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis e construção da aproximação afim (linearização).
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis e construção da aproximação afim (linearização).
Passo 2
Para verificar diferenciabilidade em
, note que
é composta por operações elementares (soma, produto e raiz quadrada) aplicadas a
e
. Num entorno de
temos
, logo a função
é suave (todas as derivadas parciais existem e são contínuas). Como produto e composição de funções diferenciáveis continuam diferenciáveis, concluímos que
admite derivadas parciais contínuas perto de
e, portanto, é diferenciável em
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
de forma geral.
Como , temos
Como
Passo 4
Avalie
e suas derivadas em
.
Aqui e
, logo
Aqui
Passo 5
A linearização de
em
é
Substituindo os valores: