Explique por que a função é diferenciável no ponto P dado. A seguir, encontre a linearização da função no dado ponto:
f(x, y)=y \sqrt{x+y}, P=(3,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y)=y\sqrt{x+y}
é diferenciável no ponto P=(3,1) e, em seguida, obter a linearização de f em P.
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis e construção da aproximação afim (linearização).

Passo 2

Para verificar diferenciabilidade em P, note que f é composta por operações elementares (soma, produto e raiz quadrada) aplicadas a x e y. Num entorno de P temos x+y>0, logo a função (x,y)\mapsto\sqrt{x+y} é suave (todas as derivadas parciais existem e são contínuas). Como produto e composição de funções diferenciáveis continuam diferenciáveis, concluímos que f admite derivadas parciais contínuas perto de P e, portanto, é diferenciável em P.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f de forma geral.
Como \displaystyle f(x,y)=y\,(x+y)^{1/2}, temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\cdot\frac12(x+y)^{-1/2} =\frac{y}{2\sqrt{x+y}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\sqrt{x+y}+y\cdot\frac12(x+y)^{-1/2} =\sqrt{x+y}+\frac{y}{2\sqrt{x+y}}.

Passo 4

Avalie f e suas derivadas em P=(3,1).
Aqui x+y=4 e \sqrt{4}=2, logo
f(3,1)=1\cdot2=2, \quad f_x(3,1)=\frac{1}{2\cdot2}=\frac14, \quad f_y(3,1)=2+\frac{1}{2\cdot2}=2+\frac14=\frac{9}{4}.

Passo 5

A linearização de f em P é
L(x,y) =f(3,1) +f_x(3,1)\,(x-3) +f_y(3,1)\,(y-1).
Substituindo os valores:
L(x,y) =2+\frac14(x-3)+\frac{9}{4}(y-1).

Resposta

L(x,y)=2+\frac14(x-3)+\frac{9}{4}(y-1).

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