Determine a equação polar do círculo de centro
e raio
, onde:
e
,
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação em coordenadas polares do círculo de centro
e raio
, com os dados:
- Centro
. Ou seja, e . - Raio
.
Portanto a tarefa é encontrar uma relação entre
e
que descreva todos os pontos
do plano que pertencem ao círculo de centro em
e raio
.
Passo 2
Lembra do mapa entre polares e cartesianas — é a ferramenta que vamos usar:
- Um ponto genérico tem coordenadas polares
e coordenadas cartesianas
- O centro
tem coordenadas cartesianas
Vou usar isso para escrever a condição "distância de
até
é
".
Passo 3
A definição do círculo é: a distância entre o ponto genérico e o centro deve valer
. Em coordenadas cartesianas, a distância ao quadrado é
Agora vou substituir
e
.
Passo 4
Fazendo as substituições obtemos
Expande os quadrados:
Agrupa termos usando
e similar para
:
Reconhece a identidade trigonométrica
. Assim:
Essa é a forma geral (em polares) da condição "distância =
".
Passo 5
Agora substituo os valores numéricos:
,
e
. Primeiro calcule
. Portanto a equação geral fica
Substituindo
e
dá
Passo 6
Fatorando a equação anterior:
Isto significa que os pontos do círculo satisfazem
ou
.
-
é apenas o ponto origem; faz sentido pois o círculo com centro a 2 unidades do centro e raio 2 passa pela origem. - A equação que descreve todo o círculo (exceto a representação redundante
) é
Passo 7
Observação sobre o sinal: na representação polar usual impõe-se
. Então a forma prática da equação é
com a restrição
(ou se permitir
usar a identidade polar correspondente, a curva completa é obtida por todas as
quando se aceita
negativo).