Determine a equação polar do círculo de centro P_{0} e raio r, onde:
P_{0}=\left(2, \frac{\pi}{3}\right)_{O \rho \theta} e r=2,

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação em coordenadas polares do círculo de centro P_{0} e raio r, com os dados:
  • Centro P_{0}=\left(2,\frac{\pi}{3}\right)_{O\rho\theta}. Ou seja, \rho_{0}=2 e \theta_{0}=\frac{\pi}{3}.
  • Raio r=2.
Portanto a tarefa é encontrar uma relação entre \rho e \theta que descreva todos os pontos (\rho,\theta) do plano que pertencem ao círculo de centro em \left(2,\frac{\pi}{3}\right) e raio 2.

Passo 2

Lembra do mapa entre polares e cartesianas — é a ferramenta que vamos usar:
  • Um ponto genérico tem coordenadas polares (\rho,\theta) e coordenadas cartesianas
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
  • O centro P_{0}=(\rho_{0},\theta_{0}) tem coordenadas cartesianas
x_{0}=\rho_{0}\cos\theta_{0},\qquad y_{0}=\rho_{0}\sin\theta_{0}.
Vou usar isso para escrever a condição "distância de (\rho,\theta) até P_{0} é r".

Passo 3

A definição do círculo é: a distância entre o ponto genérico e o centro deve valer r. Em coordenadas cartesianas, a distância ao quadrado é
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.
Agora vou substituir x=\rho\cos\theta,\;y=\rho\sin\theta e x_{0}=\rho_{0}\cos\theta_{0},\;y_{0}=\rho_{0}\sin\theta_{0}.

Passo 4

Fazendo as substituições obtemos
(\rho\cos\theta-\rho_{0}\cos\theta_{0})^{2}+(\rho\sin\theta-\rho_{0}\sin\theta_{0})^{2}=r^{2}.
Expande os quadrados:
\rho^{2}\cos^{2}\theta-2\rho\rho_{0}\cos\theta\cos\theta_{0}+\rho_{0}^{2}\cos^{2}\theta_{0} +\rho^{2}\sin^{2}\theta-2\rho\rho_{0}\sin\theta\sin\theta_{0}+\rho_{0}^{2}\sin^{2}\theta_{0}=r^{2}.
Agrupa termos usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e similar para \theta_{0}:
\rho^{2}+\rho_{0}^{2}-2\rho\rho_{0}(\cos\theta\cos\theta_{0}+\sin\theta\sin\theta_{0})=r^{2}.
Reconhece a identidade trigonométrica \cos(\theta-\theta_{0})=\cos\theta\cos\theta_{0}+\sin\theta\sin\theta_{0}. Assim:
\rho^{2}+\rho_{0}^{2}-2\rho\rho_{0}\cos(\theta-\theta_{0})=r^{2}.
Essa é a forma geral (em polares) da condição "distância = r".

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos: \rho_{0}=2, \theta_{0}=\dfrac{\pi}{3} e r=2. Primeiro calcule \rho_{0}^{2}-r^{2}=2^{2}-2^{2}=0. Portanto a equação geral fica
\rho^{2}-2\rho\cdot\rho_{0}\cos\!\bigl(\theta-\theta_{0}\bigr)=0.
Substituindo \rho_{0}=2 e \theta_{0}=\dfrac{\pi}{3}
\rho^{2}-4\rho\cos\!\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=0.

Passo 6

Fatorando a equação anterior:
\rho\bigl(\rho-4\cos(\theta-\tfrac{\pi}{3})\bigr)=0.
Isto significa que os pontos do círculo satisfazem \rho=0 ou \rho=4\cos(\theta-\tfrac{\pi}{3}).
  • \rho=0 é apenas o ponto origem; faz sentido pois o círculo com centro a 2 unidades do centro e raio 2 passa pela origem.
  • A equação que descreve todo o círculo (exceto a representação redundante \rho=0) é
\rho=4\cos\!\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 7

Observação sobre o sinal: na representação polar usual impõe-se \rho\ge0. Então a forma prática da equação é
\rho=4\cos\!\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{3}\bigr),
com a restrição \cos(\theta-\tfrac{\pi}{3})\ge0 (ou se permitir \rho<0 usar a identidade polar correspondente, a curva completa é obtida por todas as \theta quando se aceita \rho negativo).

Resposta

\rho=4\cos\!\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{3}\bigr)

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