Use as relações de mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas para obter a equação cartesiana correspondente a cada equação polar dada. Identifique o conjunto de pontos do plano definido em cada caso.
;
Passo 1
O enunciado dá uma equação em coordenadas polares e pede a equação cartesiana correspondente e a identificação do conjunto de pontos. Informações dadas:
- Equação polar:
.
O que é pedido: - Obter a equação em coordenadas cartesianas (em
). - Identificar o conjunto de pontos do plano que satisfaz essa equação.
Passo 2
Vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares
e cartesianas
. Estas são fórmulas que sempre usamos:
Aqui
é a distância do ponto à origem (assumimos o uso padrão com
),
é o ângulo polar, e
são as coordenadas cartesianas habituais.
Passo 3
Identifique uma identidade trigonométrica útil na equação polar. A expressão do lado esquerdo aparece como produto
. Há a identidade
Portanto a equação polar pode ser escrita de forma compacta como
Passo 4
Agora substituímos as relações polares-cartesianas para escrever
em função de
. Usando
e
,
, obtemos
Como
pela equação original, substituindo temos
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois
) obtemos
Agora usamos
para eliminar
:
Esta é a forma cartesiana implícita da curva. Para obter uma expressão sem radicais podemos elevar ao quadrado (lembrando das restrições de sinal que surgem ao quadrar):
Passo 6
Atenção às condições que vêm da conversão (não surgem automaticamente ao quadrar):
- Como começamos com
e chegamos a , é necessário que o lado esquerdo satisfaça . Logo só aceitamos pontos com (ou seja, e com o mesmo sinal: quadrantes I e III, inclusive o eixo ). - Além disso, de
segue (pois e ). Portanto os pontos satisfazem
ou seja, a curva está contida no disco de raio
centrado na origem.
Passo 7
Interpretação geométrica / parametrização (ajuda a entender o conjunto): a curva pode ser vista também pela parametrização polar original com a própria
:
ou em coordenadas cartesianas paramétricas
para valores de
tais que
(isto é,
modulo
). Isso mostra duas “folhas” simétricas localizadas tipicamente nos quadrantes I e III, todas contidas no disco de raio
. O ponto
pertence à curva (quando
).
Resposta
Equivalente (sem radical), com a condição
: