Use as relações de mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas para obter a equação cartesiana correspondente a cada equação polar dada. Identifique o conjunto de pontos do plano definido em cada caso.
2 \operatorname{sen} \theta \cos \theta=\rho;

Passo 1

O enunciado dá uma equação em coordenadas polares e pede a equação cartesiana correspondente e a identificação do conjunto de pontos. Informações dadas:
  • Equação polar: \,2\operatorname{sen}\theta\cos\theta=\rho\,.
    O que é pedido:
  • Obter a equação em coordenadas cartesianas (em x,y).
  • Identificar o conjunto de pontos do plano que satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares (\rho,\theta) e cartesianas (x,y). Estas são fórmulas que sempre usamos:
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\operatorname{sen}\theta,\qquad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui \rho é a distância do ponto à origem (assumimos o uso padrão com \rho\ge0), \theta é o ângulo polar, e x,y são as coordenadas cartesianas habituais.

Passo 3

Identifique uma identidade trigonométrica útil na equação polar. A expressão do lado esquerdo aparece como produto \operatorname{sen}\theta\cos\theta. Há a identidade
\operatorname{sen} 2\theta = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta.
Portanto a equação polar pode ser escrita de forma compacta como
\operatorname{sen} 2\theta=\rho.

Passo 4

Agora substituímos as relações polares-cartesianas para escrever \operatorname{sen} 2\theta em função de x,y,\rho. Usando \operatorname{sen} 2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta e \operatorname{sen}\theta=\dfrac{y}{\rho}, \cos\theta=\dfrac{x}{\rho}, obtemos
\operatorname{sen} 2\theta=2\cdot\frac{y}{\rho}\cdot\frac{x}{\rho}=\frac{2xy}{\rho^{2}}.
Como \operatorname{sen} 2\theta=\rho pela equação original, substituindo temos
\frac{2xy}{\rho^{2}}=\rho.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por \rho^{2} (válido pois \rho\ge0) obtemos
2xy=\rho^{3}.
Agora usamos \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} para eliminar \rho:
2xy=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}.
Esta é a forma cartesiana implícita da curva. Para obter uma expressão sem radicais podemos elevar ao quadrado (lembrando das restrições de sinal que surgem ao quadrar):
4x^{2}y^{2}=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3}.

Passo 6

Atenção às condições que vêm da conversão (não surgem automaticamente ao quadrar):
  • Como começamos com \rho\ge0 e chegamos a 2xy=\rho^{3}, é necessário que o lado esquerdo satisfaça 2xy\ge0. Logo só aceitamos pontos com xy\ge0 (ou seja, x e y com o mesmo sinal: quadrantes I e III, inclusive o eixo x=y=0).
  • Além disso, de \rho=\operatorname{sen} 2\theta segue 0\le\rho\le1 (pois \operatorname{sen} 2\theta\in[-1,1] e \rho\ge0). Portanto os pontos satisfazem
x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\le 1,
ou seja, a curva está contida no disco de raio 1 centrado na origem.

Passo 7

Interpretação geométrica / parametrização (ajuda a entender o conjunto): a curva pode ser vista também pela parametrização polar original com a própria \theta:
\rho=\operatorname{sen} 2\theta,\qquad\text{com}\quad \operatorname{sen} 2\theta\ge0,
ou em coordenadas cartesianas paramétricas
x=\operatorname{sen} 2\theta\cos\theta,\qquad y=\operatorname{sen} 2\theta\operatorname{sen}\theta,
para valores de \theta tais que \operatorname{sen} 2\theta\ge0 (isto é, \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\cup[\pi,\tfrac{3\pi}{2}] modulo 2\pi). Isso mostra duas “folhas” simétricas localizadas tipicamente nos quadrantes I e III, todas contidas no disco de raio 1. O ponto (0,0) pertence à curva (quando \rho=0).

Resposta

2xy=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}
Equivalente (sem radical), com a condição xy\ge0:
4x^{2}y^{2}=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3}

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