Determine a equação polar do círculo de centro P_{0} e raio r, onde: P_{0}=(3, \pi)_{O \rho \theta} e r=1,
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar a equação polar do círculo de centro P_{0} e raio r.
Informações fornecidas:
Centro em coordenadas polares: P_{0}=(3,\pi)_{O\rho\theta}. Ou seja, \rho_{0}=3 e \theta_{0}=\pi.
Raio: r=1.
Observação clara do que deve ser obtido:
Uma relação entre as coordenadas polares \rho e \theta (variáveis do ponto genérico) que descreva todos os pontos do círculo.
Passo 2
Entender a condição geométrica que define o círculo (aula rápida e prática).
Definição: um círculo de centro P_{0} e raio r é o conjunto de pontos P cuja distância euclidiana até P_{0} é igual a r.
Em coordenadas polares, o ponto variável é P=(\rho,\theta) e o centro é P_{0}=(\rho_{0},\theta_{0}).
Para calcular a distância entre P e P_{0} podemos usar a lei dos cossenos no triângulo formado pelos vetores \overrightarrow{OP} e \overrightarrow{OP_{0}}: a distância d=|P P_{0}| satisfaz
Expliquei: aqui \rho é o comprimento do vetor \overrightarrow{OP}, \rho_{0} é o comprimento de \overrightarrow{OP_{0}}, e \theta-\theta_{0} é o ângulo entre esses vetores; aplicar a lei dos cossenos dá exatamente essa expressão.
Passo 3
Aplicar a condição do círculo (distância igual a r).
Comentário prático: essa forma mostra que nem todo ângulo \theta fornece uma \rho real — é preciso ter 9\cos^{2}\theta-8\ge0 para soluções reais — mas a forma implícita \rho^{2}+6\rho\cos\theta+8=0 é a mais direta e correta como equação polar do círculo.
Verificação em coordenadas cartesianas (checagem rápida que ajuda a entender):
Lembrando que x=\rho\cos\theta e y=\rho\sin\theta, temos \rho^{2}=x^{2}+y^{2} e 6\rho\cos\theta=6x.
Substituindo na equação implícita:
x^{2}+y^{2}+6x+8=0.
Completando o quadrado em x:
(x+3)^{2}+y^{2}=1,que é um círculo de centro (-3,0) e raio 1, exatamente o mesmo círculo esperado a partir de P_{0}=(3,\pi) (note que P_{0} em cartesianas é (3\cos\pi,3\sin\pi)=(-3,0)). Isso confirma que a equação polar está correta.