Determine a equação polar do círculo de centro P_{0} e raio r, onde:
P_{0}=(3, \pi)_{O \rho \theta} e r=1,

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a equação polar do círculo de centro P_{0} e raio r.
Informações fornecidas:
  • Centro em coordenadas polares: P_{0}=(3,\pi)_{O\rho\theta}. Ou seja, \rho_{0}=3 e \theta_{0}=\pi.
  • Raio: r=1.
Observação clara do que deve ser obtido:
  • Uma relação entre as coordenadas polares \rho e \theta (variáveis do ponto genérico) que descreva todos os pontos do círculo.

Passo 2

Entender a condição geométrica que define o círculo (aula rápida e prática).
  • Definição: um círculo de centro P_{0} e raio r é o conjunto de pontos P cuja distância euclidiana até P_{0} é igual a r.
  • Em coordenadas polares, o ponto variável é P=(\rho,\theta) e o centro é P_{0}=(\rho_{0},\theta_{0}).
  • Para calcular a distância entre P e P_{0} podemos usar a lei dos cossenos no triângulo formado pelos vetores \overrightarrow{OP} e \overrightarrow{OP_{0}}: a distância d=|P P_{0}| satisfaz
d^{2}=\rho^{2}+\rho_{0}^{2}-2\rho\rho_{0}\cos(\theta-\theta_{0}).
Expliquei: aqui \rho é o comprimento do vetor \overrightarrow{OP}, \rho_{0} é o comprimento de \overrightarrow{OP_{0}}, e \theta-\theta_{0} é o ângulo entre esses vetores; aplicar a lei dos cossenos dá exatamente essa expressão.

Passo 3

Aplicar a condição do círculo (distância igual a r).
  • A condição é d=r, logo
r^{2}=\rho^{2}+\rho_{0}^{2}-2\rho\rho_{0}\cos(\theta-\theta_{0}).
  • Agora substitua os valores dados: \rho_{0}=3, \theta_{0}=\pi e r=1. Assim
1^{2}=\rho^{2}+3^{2}-2\cdot\rho\cdot3\cos(\theta-\pi).
  • Simplificando os números:
1=\rho^{2}+9-6\rho\cos(\theta-\pi).

Passo 4

Fazer a álgebra e usar identidades trigonométricas (explicando cada passo).
  • Colocar tudo do mesmo lado da igualdade:
\rho^{2}+9-6\rho\cos(\theta-\pi)-1=0
ou
\rho^{2}-6\rho\cos(\theta-\pi)+8=0.
  • Usar a identidade trigonométrica \cos(\theta-\pi)=-\cos\theta (porque \cos(\alpha-\pi)= -\cos\alpha). Substituindo:
\rho^{2}-6\rho\bigl(-\cos\theta\bigr)+8=0.
  • Simplificando o sinal:
\rho^{2}+6\rho\cos\theta+8=0.
Esta é a equação polar do círculo na forma implícita em \rho e \theta.

Passo 5

Formas alternativas úteis e verificação (para saber usar na prova).
  • Se quiser isolar \rho (usar fórmula quadrática): a equação é quadrática em \rho,
\rho^{2}+6(\cos\theta)\,\rho+8=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara para \rho:
\rho=\frac{-6\cos\theta\pm\sqrt{(6\cos\theta)^{2}-4\cdot1\cdot8}}{2} =\;-3\cos\theta\pm\sqrt{9\cos^{2}\theta-8}.
Comentário prático: essa forma mostra que nem todo ângulo \theta fornece uma \rho real — é preciso ter 9\cos^{2}\theta-8\ge0 para soluções reais — mas a forma implícita \rho^{2}+6\rho\cos\theta+8=0 é a mais direta e correta como equação polar do círculo.
  • Verificação em coordenadas cartesianas (checagem rápida que ajuda a entender):
    • Lembrando que x=\rho\cos\theta e y=\rho\sin\theta, temos \rho^{2}=x^{2}+y^{2} e 6\rho\cos\theta=6x.
    • Substituindo na equação implícita:
    x^{2}+y^{2}+6x+8=0.
    • Completando o quadrado em x:
    (x+3)^{2}+y^{2}=1,que é um círculo de centro (-3,0) e raio 1, exatamente o mesmo círculo esperado a partir de P_{0}=(3,\pi) (note que P_{0} em cartesianas é (3\cos\pi,3\sin\pi)=(-3,0)). Isso confirma que a equação polar está correta.

Resposta

\rho^{2}+6\rho\cos\theta+8=0
\rho=-3\cos\theta\pm\sqrt{9\cos^{2}\theta-8}

Exercícios relacionados