Determine a equação reduzida da elipse onde:
O centro é C=(-3,3), um dos vértices do eixo menor é D=(-2,3) e a distância focal é 2 .

Passo 1

Vamos resolver uma equação de uma elipse. O enunciado nos dá o centro da elipse, um dos vértices do eixo menor e a distância focal. Para resolver, vamos precisar entender os componentes básicos de uma elipse, como o centro, os eixos maior e menor, e as relações entre eles usando as fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, identificamos o centro da elipse, que é o ponto .

Passo 3

Em seguida, temos um vértice do eixo menor . Como ambos os pontos e têm a mesma coordenada , isso indica que o eixo menor está alinhado horizontalmente.

Passo 4

A distância entre o centro b = |-2 - (-3)| = 1 e o vértice nos dá o valor de , que é o semi-eixo menor. Calculando:

Passo 5

A distância focal c^2 = a^2 - b^2 é dada como 2. Sabemos que para uma elipse, a relação entre 2^2 = a^2 - 1^2 4 = a^2 - 1 a^2 = 5 a = raiz5 , e é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Como o eixo menor está horizontal, o eixo maior será vertical. A equação padrão da elipse com eixo maior vertical é:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Onde é o centro da elipse.

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
h = -3, k = 3, b = 1, a = raiz5
A equação fica:
(x + 3)^21 + (y - 3)^25 = 1

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
(x + 3)^2 + (y - 3)^25 = 1

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