Considere o conjunto
.
é um subespaço vetorial de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2 com entradas reais e queremos saber se esse conjunto
satisfaz as condições para ser um subespaço. Para isso, precisamos lembrar dos requisitos para um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém a matriz zero. A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero:
Multiplicando a matriz zero pelo vetor
:
Como
, a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que:
Então, somando as duas equações:
Isso mostra que
também satisfaz
, ou seja,
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se
está em
e
é um número real qualquer, então
também deve estar em
.
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto,
também satisfaz
, ou seja,
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.