Considere o conjunto W=A in M2 times 2(R) / A z=0 com z=[ll1 & 1]^top. W é um subespaço vetorial de M2 times 2(R) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto 1 1 é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2 com entradas reais e queremos saber se esse conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço. Para isso, precisamos lembrar dos requisitos para um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto 0 = 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero. A matriz zero é aquela onde todos os elementos são zero:
0 cdot z = 0 & 0 0 & 0 1 1 = 0 0
Multiplicando a matriz zero pelo vetor :
Como , a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se A z = 0 e B z = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes (A + B) z = A z + B z = 0 + 0 = 0 e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que:
Então, somando as duas equações:
Isso mostra que também satisfaz , ou seja, .

Passo 4

Por último, vamos verificar se A z = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se cA z = c cdot 0 = 0 está em e é um número real qualquer, então também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto, também satisfaz , ou seja, .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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