Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada. f(x) = x^2, x = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa (o valor de ) é 3. A matéria que vamos usar aqui é derivada, que ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para achar essa inclinação, precisamos derivar a função .

Passo 3

A função dada é . A derivada de , que a gente chama de , nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto . A derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente quando . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 6.

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o ponto na curva onde . Substituindo na função original:
Então, o ponto é .

Passo 6

Agora, com a inclinação (6) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto.

Passo 7

Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .

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