Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde a abscissa (o valor de
) é 3. A matéria que vamos usar aqui é derivada, que ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para achar essa inclinação, precisamos derivar a função
.
Passo 3
A função dada é
. A derivada de
, que a gente chama de
, nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
. A derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente quando
. Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 6.
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o ponto na curva onde
. Substituindo na função original:
Então, o ponto é
.
Passo 6
Agora, com a inclinação (6) e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto.
Passo 7
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto onde
é
.