Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right).
f(x)=\frac{x}{x-3}, x_{0}=6.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\frac{x}{x-3}
no ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) com x_{0}=6.
Para traçar essa reta, precisamos de três coisas: o valor f(6), a derivada f'(x) avaliada em x=6 (que será o coeficiente angular) e a fórmula ponto-declive da reta tangente.

Passo 2

Calcular o valor de f em x_{0}=6:
f(6)=\frac{6}{6-3}=\frac{6}{3}=2.

Passo 3

Determinar a derivada f'(x) usando regra do quociente: se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=x,\;v(x)=x-3,
então
f'(x) =\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{(x-3)\cdot1 - x\cdot1}{(x-3)^{2}} =\frac{x-3 - x}{(x-3)^{2}} =\frac{-3}{(x-3)^{2}}.

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=6:
f'(6) =-\frac{3}{(6-3)^{2}} =-\frac{3}{9} =-\frac{1}{3}.
Portanto, o coeficiente angular da tangente é -\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive:
y - f(6) = f'(6)\,(x - 6).
Substituindo f(6)=2 e f'(6)=-\tfrac{1}{3}, fica
y - 2 = -\frac{1}{3}\,(x - 6).
Para deixar em forma explícita, desenvolvemos:
y - 2 = -\frac{1}{3}x + 2 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{3}x + 4.

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 2 = -\frac{1}{3}\,(x - 6) \quad\text{ou}\quad y = -\frac{1}{3}x + 4.

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