Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right).
f(x)=x+\sqrt{x}, x_{0}=4.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) com f(x)=x+\sqrt{x} e x_{0}=4. Vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular e a fórmula ponto-reta para escrever a equação.

Passo 2

Calcular o valor de f em x_{0}:
f(4)=4+\sqrt{4}=4+2=6.

Passo 3

Determinar a derivada de f. Como \frac{d}{dx}x=1 e \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}, temos
f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=4:
f'(4)=1+\frac{1}{2\sqrt{4}} =1+\frac{1}{2\cdot2} =1+\tfrac{1}{4} =\tfrac{5}{4}.

Passo 5

Usar a fórmula da reta tangente em forma ponto-inclinação:
y - f(4)=f'(4)\,(x-4)
Substituindo f(4)=6 e f'(4)=\tfrac{5}{4}, fica
y-6=\tfrac{5}{4}(x-4).
Para isolar y:
y=\tfrac{5}{4}x-5+6 =\tfrac{5}{4}x+1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y=\frac{5}{4}x+1.

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