Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right).
f(x)=\tan x, x_{0}=\frac{\pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=\tan x no ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr), com x_{0}=\tfrac{\pi}{3}. Para traçar essa reta precisamos de dois ingredientes: o ponto de tangência e a inclinação nesse ponto, dada por f'(x_{0}).

Passo 2

Calculamos o valor de f em x_{0}. Como
f(x)=\tan x,
temos
f\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3}.
Logo o ponto de tangência é \bigl(\tfrac{\pi}{3},\sqrt{3}\bigr).

Passo 3

Agora obtemos a derivada de f. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Avaliamos a derivada em x_{0}=\tfrac{\pi}{3}:
f'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Como \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12, segue
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=4.
Portanto a inclinação da reta tangente é m=4.

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - f\bigl(x_{0}\bigr)=f'\bigl(x_{0}\bigr)\bigl(x - x_{0}\bigr).
Substituindo x_{0}=\tfrac{\pi}{3}, f\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3} e f'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=4, obtemos
y - \sqrt{3} = 4\Bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).

Resposta

A equação da reta tangente é
y - \sqrt{3} = 4\Bigl(x - \tfrac{\pi}{3}\Bigr).
Ou, em forma explícita,
y = 4x - \tfrac{4\pi}{3} + \sqrt{3}.

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