Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right).
f(x)=\frac{\sin x}{x}, x_{0}=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=\frac{\sin x}{x} no ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) com x_{0}=\frac{\pi}{4}. Para isso precisamos de dois ingredientes: o valor da função em x_{0}, ou seja f\bigl(\frac{\pi}{4}\bigr), e a derivada f'(x) avaliada em x_{0}. Em seguida aplicamos a fórmula ponto-inclinação da reta tangente:
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\,(x - x_{0}).

Passo 2

Calculamos f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr):
f\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)}{\tfrac{\pi}{4}} = \frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{4}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}.

Passo 3

Usamos a regra do quociente para obter f'(x). Se
f(x)=\frac{\sin x}{x},
então
f'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos em x_{0}=\tfrac{\pi}{4}. O numerador é
\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) - \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\pi}{4}\,\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-1\Bigr)
e o denominador é
\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)^{2} = \frac{\pi^{2}}{16}.
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f'\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(\tfrac{\pi}{4}-1\bigr)}{\tfrac{\pi^{2}}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(\tfrac{\pi}{4}-1\bigr)\cdot\frac{16}{\pi^{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\pi^{2}}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-1\Bigr) = \frac{2\sqrt{2}\,(\pi-4)}{\pi^{2}}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da reta tangente em ponto-inclinação:
y - f\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = f'\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)\,\Bigl(x - \tfrac{\pi}{4}\Bigr).
Substituindo os valores encontrados,
y - \frac{2\sqrt{2}}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}\,(\pi-4)}{\pi^{2}}\, \Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).

Resposta

y - \frac{2\sqrt{2}}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}\,(\pi-4)}{\pi^{2}}\, \Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).

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