Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}, \quad x=-1

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1} e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto de abscissa x=-1.
Informações fornecidas:
\quad a função y=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}
\quad a abscissa do ponto de tangência: x=-1
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente naquele ponto.

Passo 2

Primeiro precisamos achar as coordenadas do ponto de tangência: calcular y em x=-1.
y(-1)=\frac{(-1)^{2}-1}{(-1)^{2}+1}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0.
Logo o ponto é (-1,0).

Passo 3

Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto. Conceito rápido: a inclinação da reta tangente em x=a é a derivada da função em a,
m=f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Na prática, para funções racionais como esta, usamos a regra do quociente para calcular f'(x) de forma direta.

Passo 4

Apresentando a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui tomamos u(x)=x^{2}-1 e v(x)=x^{2}+1. Calculamos as derivadas:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=2x.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente passo a passo:
f'(x)=\frac{2x\,(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\,2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Fatorando 2x no numerador:
f'(x)=\frac{2x\big[(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\big]}{(x^{2}+1)^{2}}.
Calculando a diferença dentro dos colchetes:
(x^{2}+1)-(x^{2}-1)=2.
Portanto
f'(x)=\frac{2x\cdot 2}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Avaliaremos agora a derivada em x=-1 para obter a inclinação da tangente:
f'(-1)=\frac{4\cdot(-1)}{\big((-1)^{2}+1\big)^{2}}=\frac{-4}{(1+1)^{2}}=\frac{-4}{2^{2}}=\frac{-4}{4}=-1.
Logo a inclinação da reta tangente é m=-1.

Passo 7

Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta: se a reta passa por (x_{0},y_{0}) e tem inclinação m, então
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0})=(-1,0) e m=-1. Substituindo:
y-0=-1\big(x-(-1)\big)=-1(x+1).
Assim, simplificando,
y=-x-1.

Resposta

y=-x-1

Exercícios relacionados