Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto de abscissa
.
Informações fornecidas:
a função
a abscissa do ponto de tangência:
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente naquele ponto.
Informações fornecidas:
O que precisamos encontrar: a equação da reta tangente naquele ponto.
Passo 2
Primeiro precisamos achar as coordenadas do ponto de tangência: calcular
em
.
Logo o ponto é
.
Passo 3
Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto. Conceito rápido: a inclinação da reta tangente em
é a derivada da função em
,
Na prática, para funções racionais como esta, usamos a regra do quociente para calcular
de forma direta.
Passo 4
Apresentando a regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis, então
Aqui tomamos
e
. Calculamos as derivadas:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente passo a passo:
Fatorando
no numerador:
Calculando a diferença dentro dos colchetes:
Portanto
Passo 6
Avaliaremos agora a derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Logo a inclinação da reta tangente é
.
Passo 7
Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta: se a reta passa por
e tem inclinação
, então
Aqui
e
. Substituindo:
Assim, simplificando,