Calcule as derivadas das funções:
y=\log _{2} \sqrt{x^{4}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y=\log_{2}\sqrt{x^{4}+x}.
Informações dadas: a função é a logaritmo de base 2 da raiz quadrada de x^{4}+x. A tarefa é obter \dfrac{dy}{dx} (ou y'). Não começamos a manipular ainda — só identificamos o que foi pedido e a expressão dada.

Passo 2

Vamos reescrever a função usando propriedades dos logaritmos e potências para ficar mais fácil de derivar. Lembrando que:
\sqrt{\,x^{4}+x\,}=(x^{4}+x)^{1/2}
e que a mudança de base do logaritmo dá
\log_{2}u=\frac{\ln u}{\ln 2},
onde \ln é o logaritmo natural. Aplicando isso à nossa função:
y=\log_{2}\bigl((x^{4}+x)^{1/2}\bigr)=\frac{1}{\ln 2}\,\ln\bigl((x^{4}+x)^{1/2}\bigr).

Passo 3

Usamos a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a para tirar o expoente 1/2 para fora do logaritmo:
y=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{2}\,\ln(x^{4}+x)=\frac{1}{2\ln 2}\,\ln(x^{4}+x).
Agora y está escrita como uma constante \dfrac{1}{2\ln 2} multiplicando \ln(x^{4}+x), o que facilita a derivação.

Passo 4

Apresento a regra de derivação que vamos usar (cadeia + derivada do logaritmo). Se \,y=C\ln(u(x)) com C constante, então
\frac{dy}{dx}=C\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: a derivada de \ln(u) em relação a x é \dfrac{1}{u}\cdot u' — o u' aparece por causa da regra da cadeia (porque u depende de x). Aqui u(x)=x^{4}+x e C=\dfrac{1}{2\ln 2}.

Passo 5

Calculamos u'(x) para u(x)=x^{4}+x. Derivando termo a termo:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{4})+\frac{d}{dx}(x)=4x^{3}+1.
Pequena explicação: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, então de x^{4} vem 4x^{3}; a derivada de x é 1.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do Passo 4 com C=\dfrac{1}{2\ln 2}, u(x)=x^{4}+x e u'(x)=4x^{3}+1:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\ln 2}\cdot\frac{4x^{3}+1}{x^{4}+x}.
Podemos escrever de forma mais direta como
\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{3}+1}{2\ln 2\,(x^{4}+x)}.

Passo 7

Comentário sobre domínio (útil na prova): a função original exige x^{4}+x>0. Se for necessário, pode-se fatorar x^{4}+x=x(x^{3}+1) e analisar sinais; a derivada acima vale exatamente para os x onde a expressão original está definida (ou seja, onde x^{4}+x>0).

Resposta

\dfrac{4x^{3}+1}{2\ln 2\,(x^{4}+x)}

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