Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
Informações dadas: a função é a logaritmo de base
da raiz quadrada de
. A tarefa é obter
(ou
). Não começamos a manipular ainda — só identificamos o que foi pedido e a expressão dada.
Passo 2
Vamos reescrever a função usando propriedades dos logaritmos e potências para ficar mais fácil de derivar. Lembrando que:
e que a mudança de base do logaritmo dá
onde
é o logaritmo natural. Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Usamos a propriedade
para tirar o expoente
para fora do logaritmo:
Agora
está escrita como uma constante
multiplicando
, o que facilita a derivação.
Passo 4
Apresento a regra de derivação que vamos usar (cadeia + derivada do logaritmo). Se
com
constante, então
Explicando: a derivada de
em relação a
é
— o
aparece por causa da regra da cadeia (porque
depende de
). Aqui
e
.
Passo 5
Calculamos
para
. Derivando termo a termo:
Pequena explicação: a derivada de
é
, então de
vem
; a derivada de
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do Passo 4 com
,
e
:
Podemos escrever de forma mais direta como
Passo 7
Comentário sobre domínio (útil na prova): a função original exige
. Se for necessário, pode-se fatorar
e analisar sinais; a derivada acima vale exatamente para os
onde a expressão original está definida (ou seja, onde
).