Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
,
Passo 1
O enunciado nos dá a função e o ponto de abscissa:
- Função:
. - Abscissa do ponto onde queremos a tangente:
.
O que é pedido:
- Determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é
.
Passo 2
Entendendo o que é a reta tangente: geometricamente, a reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto é a reta que “toca” o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação local que o gráfico ali. Em cálculo, essa inclinação é dada pela derivada da função naquele ponto.
Fórmula prática da reta tangente: se o ponto de tangência tem coordenadas
e a derivada no ponto vale
(a inclinação), então a equação da reta tangente é
Aqui
é a abscissa do ponto,
é a ordenada correspondente, e
é a derivada
avaliada em
.
Passo 3
Precisamos então de três coisas:
- Calcular a derivada
. - Avaliar
em para obter a inclinação . - Calcular
para ter o ponto e usar a fórmula da reta tangente.
Passo 4
Regra que vamos usar para derivar polinômios (explicação didática):
- Regra do poder (power rule): para
real, . Isso significa que ao derivar você traz o expoente para multiplicar e diminui o expoente em 1. - Linearidade da derivada:
e . Ou seja, derivada de soma é soma das derivadas e constantes saem na frente.
Aplicando essas regras termo a termo na função
:
- Derivada de
é (pela regra do poder). - Derivada de
é . - Derivada de
é (porque e há o sinal negativo).
Portanto,
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação
:
Então a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 6
Calcular a ordenada do ponto de tangência
:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora usamos a fórmula da reta tangente com
,
e
:
Simplificando,
Passo 8
Interpretação final curta: a reta tangente no ponto de abscissa
passa pela origem e tem declive
, portanto é a reta
. Boa notícia: aqui ficou simples — o ponto foi a origem e a inclinação deu
.