Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=x^{4}+x^{3}-x, x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função e o ponto de abscissa:
  • Função: y = x^{4} + x^{3} - x.
  • Abscissa do ponto onde queremos a tangente: x=0.
O que é pedido:
  • Determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é x=0.

Passo 2

Entendendo o que é a reta tangente: geometricamente, a reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto é a reta que “toca” o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação local que o gráfico ali. Em cálculo, essa inclinação é dada pela derivada da função naquele ponto.
Fórmula prática da reta tangente: se o ponto de tangência tem coordenadas (x_0,y_0) e a derivada no ponto vale m (a inclinação), então a equação da reta tangente é
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Aqui x_0 é a abscissa do ponto, y_0 é a ordenada correspondente, e m é a derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada em x_0.

Passo 3

Precisamos então de três coisas:
  1. Calcular a derivada y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
  2. Avaliar y'(x) em x_0=0 para obter a inclinação m.
  3. Calcular y_0 = y(0) para ter o ponto (x_0,y_0) e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 4

Regra que vamos usar para derivar polinômios (explicação didática):
  • Regra do poder (power rule): para n real, \dfrac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}. Isso significa que ao derivar x^n você traz o expoente para multiplicar e diminui o expoente em 1.
  • Linearidade da derivada: \dfrac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f'(x)+g'(x) e \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x). Ou seja, derivada de soma é soma das derivadas e constantes saem na frente.
Aplicando essas regras termo a termo na função y = x^{4} + x^{3} - x:
  • Derivada de x^{4} é 4x^{3} (pela regra do poder).
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de -x é -1 (porque \dfrac{d}{dx}x=1 e há o sinal negativo).
Portanto,
y'(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 1.

Passo 5

Avaliar a derivada em x_0=0 para obter a inclinação m:
m = y'(0) = 4\cdot 0^{3} + 3\cdot 0^{2} - 1 = 0 + 0 - 1 = -1.
Então a inclinação da reta tangente em x=0 é m=-1.

Passo 6

Calcular a ordenada do ponto de tangência y_0 = y(0):
y(0) = 0^{4} + 0^{3} - 0 = 0.
Logo o ponto de tangência é (x_0,y_0) = (0,0).

Passo 7

Agora usamos a fórmula da reta tangente com x_0=0, y_0=0 e m=-1:
y - 0 = -1\,(x - 0).
Simplificando,
y = -x.

Passo 8

Interpretação final curta: a reta tangente no ponto de abscissa 0 passa pela origem e tem declive -1, portanto é a reta y=-x. Boa notícia: aqui ficou simples — o ponto foi a origem e a inclinação deu -1.

Resposta

y=-x

Exercícios relacionados