Calcule a derivada de cada uma das funções:.
g(x)=\left(2 x^{2}+5\right)(4 x-1)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\left(2x^{2}+5\right)\left(4x-1\right)
e pede para calcular a derivada g'(x). As informações relevantes são:
  • O primeiro fator é 2x^{2}+5.
  • O segundo fator é 4x-1.
  • A tarefa é obter a expressão de g'(x).

Passo 2

Antes de calcular, vamos rever as regras básicas que vamos usar (explicadas de forma bem direta).
Regra da potência (para polinômios): se f(x)=x^{n} com n inteiro, então
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente; aplicar essa regra diz como diminuir o expoente em 1 e multiplicar pelo expoente.
Derivada de constante e de múltiplo: se c é constante então
\frac{d}{dx}c=0, \qquad \frac{d}{dx}\big(c\cdot h(x)\big)=c\cdot h'(x).
Isto significa que constantes somam zero e podem sair da derivada.
Regra do produto (essencial aqui): se u(x) e v(x) são duas funções, então a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Na fórmula acima, u'(x) significa a derivada de u em relação a x, e v'(x) a derivada de v.

Passo 3

Identificamos os fatores e calculamos suas derivadas separadamente:
u(x)=2x^{2}+5,\qquad v(x)=4x-1.
Aplicando a regra da potência e a regra de derivada de constante:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)+\frac{d}{dx}(5)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+0=2\cdot(2x)=4x.
v'(x)=\frac{d}{dx}(4x)-\frac{d}{dx}(1)=4-0=4.
Expliquei: para 2x^{2} usei a regra da potência ( 2 vira coeficiente multiplicando x^{1}), e constantes viram zero.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto com u, v, u' e v':
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores que já tínhamos:
g'(x)=(4x)(4x-1)+(2x^{2}+5)(4).

Passo 5

Vamos desenvolver as multiplicações e somar termos semelhantes passo a passo:
Primeiro termo:
(4x)(4x-1)=4x\cdot4x-4x\cdot1=16x^{2}-4x.
Segundo termo:
(2x^{2}+5)(4)=4\cdot2x^{2}+4\cdot5=8x^{2}+20.
Somando os dois:
g'(x)=\big(16x^{2}-4x\big)+\big(8x^{2}+20\big)= (16x^{2}+8x^{2})+(-4x)+20=24x^{2}-4x+20.

Passo 6

Cheque rápido (opcional, para ganhar confiança): se primeiro expandíssemos g(x) teríamos
g(x)= (2x^{2}+5)(4x-1)=8x^{3}-2x^{2}+20x-5.
Derivando termo a termo pela regra da potência:
\frac{d}{dx}(8x^{3})=24x^{2},\quad \frac{d}{dx}(-2x^{2})=-4x,\quad \frac{d}{dx}(20x)=20,\quad \frac{d}{dx}(-5)=0,
o que fornece novamente
g'(x)=24x^{2}-4x+20,
confirmando o resultado.

Resposta

g'(x)=24x^{2}-4x+20

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