Determine a equação da superfície obtida pela rotação da parábola y=x^{2} em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola no plano xy:
y = x^{2},
e pede a equação da superfície tridimensional obtida ao girar essa curva em torno do eixo y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva inicial é o conjunto de pontos \bigl(x,\,y\bigr) do plano com y=x^{2}.
  • O eixo de rotação é o eixo y (na linguagem 3D: o conjunto \{(0,y,0)\}).
  • O objetivo é encontrar a equação da superfície em coordenadas 3D (x,y,z) após a rotação completa (ângulo variável de 0 a 2\pi).

Passo 2

Escolha do método (curto e prático): usar parametrização da curva original e modelar a rotação por um ângulo \theta em torno do eixo y. Isso é bem direto e exige só duas ideias básicas:
  • como representar um ponto da parábola em 3D antes da rotação;
  • como rotacionar esse ponto em torno do eixo y.
Vou introduzir uma notação para não confundir as coordenadas: seja t o parâmetro que representa a abscissa original da parábola (ou seja, t substitui o x da curva original). Então um ponto da curva no espaço (antes da rotação) é \bigl(t,\,t^{2},\,0\bigr). Em seguida, giramos esse ponto por um ângulo \theta ao redor do eixo y, com \theta\in[0,2\pi).

Passo 3

Como rotacionar um ponto em torno do eixo y:
  • Em coordenadas 3D (x,y,z), uma rotação de ângulo \theta em torno do eixo y transforma um ponto (x,y,z) em
\bigl(x\cos\theta + z\sin\theta,\; y,\; -x\sin\theta + z\cos\theta\bigr).
  • No nosso caso inicial temos z=0, então a rotação de \bigl(t,\,t^{2},\,0\bigr) fica mais simples:
\bigl(t\cos\theta,\; t^{2},\; t\sin\theta\bigr).
Explicando: o que era a coordenada x na curva original fica espalhado entre as coordenadas x e z do espaço 3D segundo as funções \cos\theta e \sin\theta, enquanto a coordenada y permanece t^{2} porque o eixo y é o eixo de rotação.

Passo 4

Escrever a superfície parametrizada e eliminar parâmetros para obter a equação implícita:
  • A parametrização da superfície é
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(t\cos\theta,\; t^{2},\; t\sin\theta\bigr), \qquad t\in\mathbb{R},\\ \theta\in[0,2\pi).
  • Agora observe que
x^{2}+z^{2} = (t\cos\theta)^{2} + (t\sin\theta)^{2} = t^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) = t^{2}.
  • Como também y = t^{2} pela parametrização, substituindo obtemos a relação entre x,y,z sem o parâmetro:
y = x^{2} + z^{2}.
Isso elimina t e \theta e dá a equação cartesiana da superfície.

Passo 5

Interpretação e propriedades (para você entender o que essa equação significa na prova):
  • A equação obtida é
y = x^{2} + z^{2}.
  • Essa superfície é um paraboloide circular que se abre na direção positiva do eixo y. Em outras palavras, para cada valor fixo de y\ge 0 a interseção com o plano y= constante é um círculo de raio \sqrt{y}.
  • O vértice da superfície é o ponto (0,0,0) (mínimo de y), já que x^{2}+z^{2}\ge 0 implica y\ge 0.
  • Nota prática para prova: ao rotacionar uma curva y=f(x) em torno do eixo y, muitas vezes a superfície resultante pode ser escrita em termos de r^{2}=x^{2}+z^{2} como y=f(\pm r). No nosso caso particular f(x)=x^{2} é par, então y=r^{2} e isso dá diretamente y=x^{2}+z^{2}.

Resposta

y = x^{2} + z^{2}

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