Determine a equação da superfície obtida pela rotação da parábola
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parábola no plano
:
e pede a equação da superfície tridimensional obtida ao girar essa curva em torno do eixo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva inicial é o conjunto de pontos
do plano com . - O eixo de rotação é o eixo
(na linguagem 3D: o conjunto ). - O objetivo é encontrar a equação da superfície em coordenadas 3D
após a rotação completa (ângulo variável de a ).
Passo 2
Escolha do método (curto e prático): usar parametrização da curva original e modelar a rotação por um ângulo
em torno do eixo
. Isso é bem direto e exige só duas ideias básicas:
- como representar um ponto da parábola em 3D antes da rotação;
- como rotacionar esse ponto em torno do eixo
.
Vou introduzir uma notação para não confundir as coordenadas: seja
o parâmetro que representa a abscissa original da parábola (ou seja,
substitui o
da curva original). Então um ponto da curva no espaço (antes da rotação) é
. Em seguida, giramos esse ponto por um ângulo
ao redor do eixo
, com
.
Passo 3
Como rotacionar um ponto em torno do eixo
:
- Em coordenadas 3D
, uma rotação de ângulo em torno do eixo transforma um ponto em
- No nosso caso inicial temos
, então a rotação de fica mais simples:
Explicando: o que era a coordenada
na curva original fica espalhado entre as coordenadas
e
do espaço 3D segundo as funções
e
, enquanto a coordenada
permanece
porque o eixo
é o eixo de rotação.
Passo 4
Escrever a superfície parametrizada e eliminar parâmetros para obter a equação implícita:
- A parametrização da superfície é
- Agora observe que
- Como também
pela parametrização, substituindo obtemos a relação entre sem o parâmetro:
Isso elimina
e
e dá a equação cartesiana da superfície.
Passo 5
Interpretação e propriedades (para você entender o que essa equação significa na prova):
- A equação obtida é
- Essa superfície é um paraboloide circular que se abre na direção positiva do eixo
. Em outras palavras, para cada valor fixo de a interseção com o plano constante é um círculo de raio . - O vértice da superfície é o ponto
(mínimo de ), já que implica . - Nota prática para prova: ao rotacionar uma curva
em torno do eixo , muitas vezes a superfície resultante pode ser escrita em termos de como . No nosso caso particular é par, então e isso dá diretamente .