66 De uma placa quadrada de metal, com 20 cm de lado, é recortado um círculo de diâmetro máximo. Em seguida, recorta-se desse círculo um quadrado de dimensão máxima. Qual é a área da superfície desperdiçada?

Passo 1

O enunciado diz que se parte de uma placa quadrada de metal com lado 20\\ \text{cm}. A seguir:
  • É recortado dessa placa um círculo de diâmetro máximo possível dentro do quadrado.
  • Do círculo recortado é recortado, por sua vez, um quadrado de dimensão máxima possível dentro desse círculo.
    A pergunta é: qual é a área da superfície desperdiçada?
    Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Lado do quadrado inicial: 20\\ \text{cm}.
  • O círculo tem diâmetro máximo dentro do quadrado (logo o diâmetro do círculo é igual ao lado do quadrado).
  • O quadrado final é o maior quadrado possível dentro desse círculo (logo sua diagonal é igual ao diâmetro do círculo).
    O que se busca: a área desperdiçada, isto é, a área do material que deixou de integrar a peça final. Assumiremos que a peça final válida é somente o quadrado obtido dentro do círculo, então a área desperdiçada é a área do quadrado inicial menos a área do quadrado final.

Passo 2

Calcular a área do quadrado inicial. Fórmula da área do quadrado: se a é o comprimento do lado, a área é dada por
\text{Área do quadrado} = a^{2}.Á
Aqui a = 20\\ \text{cm}, portanto
\text{Área inicial} = 20^{2} = 400\\ \text{cm}^{2}.Á
Explicação rápida: a área de um quadrado é lado vezes lado, por isso a^{2}.

Passo 3

Determinar as dimensões do círculo máximo inscrito no quadrado. O círculo de diâmetro máximo dentro do quadrado tem diâmetro igual ao lado do quadrado. Então:
\text{diâmetro do círculo} = 20\\ \text{cm}.âí
Raio r do círculo é metade do diâmetro, logo
r = \frac{20}{2} = 10\\ \text{cm}.
Observação didática: a relação diâmetro = lado do quadrado acontece porque o maior círculo que cabe num quadrado toca os quatro lados, portanto seu diâmetro é exatamente a distância entre dois lados opostos, isto é, o lado do quadrado.

Passo 4

Entender a relação entre o círculo e o quadrado que será recortado do círculo. O maior quadrado que se consegue inscrever em um círculo tem sua diagonal igual ao diâmetro do círculo. Ou seja, se s é o lado do quadrado inscrito e D é o diâmetro do círculo, vale
\text{diagonal do quadrado} = D.
Para um quadrado de lado s, a diagonal tem comprimento dado pelo teorema de Pitágoras:
\text{diagonal} = s\sqrt{2}.
Portanto, para o quadrado inscrito no círculo de diâmetro D temos
s\sqrt{2} = D.

Passo 5

Calcular o lado s do quadrado final usando D=20\\ \text{cm}. A partir de
s\sqrt{2} = 20
isolamos s:
s = \frac{20}{\sqrt{2}}.
Simplificando a fração:
s = 10\sqrt{2}\\ \text{cm}.
Explicação prática: dividir por \sqrt{2} é o mesmo que multiplicar por \sqrt{2}/2, aqui resulta em 10\sqrt{2}.

Passo 6

Calcular a área do quadrado final. Usando a fórmula da área do quadrado com lado s:
\text{Área final} = s^{2}.Á
Substituindo s = 10\sqrt{2}:
\text{Área final} = \bigl(10\sqrt{2}\bigr)^{2} = 100 \cdot 2 = 200\\ \text{cm}^{2}.Á
Comentário: ao elevar 10\sqrt{2} ao quadrado, eleva-se cada fator: 10^{2}=100 e (\sqrt{2})^{2}=2.

Passo 7

Calcular a área desperdiçada como a diferença entre a área do quadrado inicial e a área do quadrado final:
\text{Área desperdiçada} = \text{Área inicial} - \text{Área final}.ÁçÁÁ
Substituindo os valores obtidos:
\text{Área desperdiçada} = 400 - 200 = 200\\ \text{cm}^{2}.Áç
Interpretação amigável: metade da área inicial acabou sendo aproveitada (o quadrado final tem 200\\ \text{cm}^{2}) e a outra metade foi descartada durante os dois recortes.

Resposta

200\\ \text{cm}^{2}

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