66 De uma placa quadrada de metal, com 20 cm de lado, é recortado um círculo de diâmetro máximo. Em seguida, recorta-se desse círculo um quadrado de dimensão máxima. Qual é a área da superfície desperdiçada?
Passo 1
O enunciado diz que se parte de uma placa quadrada de metal com lado
. A seguir:
- É recortado dessa placa um círculo de diâmetro máximo possível dentro do quadrado.
- Do círculo recortado é recortado, por sua vez, um quadrado de dimensão máxima possível dentro desse círculo.
A pergunta é: qual é a área da superfície desperdiçada?
Informações importantes extraídas do enunciado: - Lado do quadrado inicial:
. - O círculo tem diâmetro máximo dentro do quadrado (logo o diâmetro do círculo é igual ao lado do quadrado).
- O quadrado final é o maior quadrado possível dentro desse círculo (logo sua diagonal é igual ao diâmetro do círculo).
O que se busca: a área desperdiçada, isto é, a área do material que deixou de integrar a peça final. Assumiremos que a peça final válida é somente o quadrado obtido dentro do círculo, então a área desperdiçada é a área do quadrado inicial menos a área do quadrado final.
Passo 2
Calcular a área do quadrado inicial. Fórmula da área do quadrado: se
é o comprimento do lado, a área é dada por
Aqui
, portanto
Explicação rápida: a área de um quadrado é lado vezes lado, por isso
.
Passo 3
Determinar as dimensões do círculo máximo inscrito no quadrado. O círculo de diâmetro máximo dentro do quadrado tem diâmetro igual ao lado do quadrado. Então:
Raio
do círculo é metade do diâmetro, logo
Observação didática: a relação diâmetro = lado do quadrado acontece porque o maior círculo que cabe num quadrado toca os quatro lados, portanto seu diâmetro é exatamente a distância entre dois lados opostos, isto é, o lado do quadrado.
Passo 4
Entender a relação entre o círculo e o quadrado que será recortado do círculo. O maior quadrado que se consegue inscrever em um círculo tem sua diagonal igual ao diâmetro do círculo. Ou seja, se
é o lado do quadrado inscrito e
é o diâmetro do círculo, vale
Para um quadrado de lado
, a diagonal tem comprimento dado pelo teorema de Pitágoras:
Portanto, para o quadrado inscrito no círculo de diâmetro
temos
Passo 5
Calcular o lado
do quadrado final usando
. A partir de
isolamos
:
Simplificando a fração:
Explicação prática: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, aqui resulta em
.
Passo 6
Calcular a área do quadrado final. Usando a fórmula da área do quadrado com lado
:
Substituindo
:
Comentário: ao elevar
ao quadrado, eleva-se cada fator:
e
.
Passo 7
Calcular a área desperdiçada como a diferença entre a área do quadrado inicial e a área do quadrado final:
Substituindo os valores obtidos:
Interpretação amigável: metade da área inicial acabou sendo aproveitada (o quadrado final tem
) e a outra metade foi descartada durante os dois recortes.