Determine as equações cartesianas das eurvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
\vec{r}_{3}(t)=(2 \cos t, 2 \sin t), \quad t \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right].

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\vec{r}_{3}(t)=(2\cos t,\,2\sin t), com t\in\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right].
O que se pede:
  • determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) da curva;
  • esboçar a curva e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando t aumenta.
Informações dadas (explicitadas):
  • para cada t o ponto tem coordenadas x=2\cos t e y=2\sin t;
  • o parâmetro varia do valor inicial t=\tfrac{\pi}{2} até o valor final t=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro t usando a identidade trigonométrica básica \cos^{2}u+\sin^{2}u=1.
Escrevendo x e y em função de t:
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t.
Dividindo ambos por 2 e elevando ao quadrado:
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=\cos^{2}t,\qquad \left(\frac{y}{2}\right)^{2}=\sin^{2}t.
Somando as duas igualdades e usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 obtemos a equação cartesiana
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1.
Multiplicando por 4
x^{2}+y^{2}=4.
Explicação didática: isso significa que todos os pontos (x,y) estão a uma distância 2 da origem — é um círculo de raio 2 centrado em (0,0).

Passo 3

A equação x^{2}+y^{2}=4 descreve o círculo inteiro. Para determinar qual porção do círculo corresponde ao intervalo de t dado, usamos a relação direta x=2\cos t.
Observação sobre o sinal de \cos t: para t\in\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right] sabemos que \cos t\le 0. Portanto
x=2\cos t\le 0.
Conclusão: a parametrização corresponde ao semicírculo esquerdo do círculo de raio 2, ou seja, àqueles pontos do círculo que satisfazem x^{2}+y^{2}=4 e x\le 0.

Passo 4

Identificar os pontos iniciais e finais e verificar a orientação (direção de percurso) à medida que t aumenta.
Calculemos alguns valores-chave (pegando-os diretamente da parametrização):
  • para t=\tfrac{\pi}{2}: \;x=2\cos\!\tfrac{\pi}{2}=0,\; y=2\sin\!\tfrac{\pi}{2}=2. Ponto inicial \left(0,2\right).
  • para t=\pi: \;x=2\cos\pi=-2,\; y=2\sin\pi=0. Ponto médio \left(-2,0\right).
  • para t=\tfrac{3\pi}{2}: \;x=2\cos\!\tfrac{3\pi}{2}=0,\; y=2\sin\!\tfrac{3\pi}{2}=-2. Ponto final \left(0,-2\right).
Assim, quando t aumenta de \tfrac{\pi}{2} para \tfrac{3\pi}{2} a curva é percorrida do ponto \left(0,2\right) passando por \left(-2,0\right) até \left(0,-2\right). Em palavras simples: o semicírculo esquerdo é traçado de cima para baixo.
(Sugestão alternativa para checar a orientação: a derivada \vec{r}'(t)=(-2\sin t,\,2\cos t) em t=\pi vale (0,-2), apontando para baixo no ponto (-2,0), o que confirma o sentido de cima para baixo.)

Passo 5

Instruções para o esboço (faça à mão no caderno seguindo estes passos):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem.
  2. Desenhe um círculo centrado na origem com raio 2.
  3. Trace apenas a parte à esquerda do eixo y (o semicírculo com x\le 0).
  4. Marque os pontos \left(0,2\right), \left(-2,0\right) e \left(0,-2\right).
  5. Desenhe uma seta ao longo do semicírculo da parte superior \left(0,2\right) passando por \left(-2,0\right) e terminando em \left(0,-2\right) — esta seta indica o sentido em que a curva é traçada quando t aumenta.
Dica amiga: imagina um ponteiro que começa no topo do círculo e vai descendo pela borda esquerda até o fundo — é exatamente isso que acontece com t aumentando.

Resposta

x^{2}+y^{2}=4,\;x\le 0.
Semicírculo esquerdo do círculo de raio 2, traçado de (0,2) para (0,-2) passando por (-2,0) (direção: de cima para baixo).

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