Determine as equações cartesianas das eurvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
, com
.
O que se pede:
O que se pede:
- determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) da curva;
- esboçar a curva e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando
aumenta.
Informações dadas (explicitadas):
- para cada
o ponto tem coordenadas e ; - o parâmetro varia do valor inicial
até o valor final .
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro
usando a identidade trigonométrica básica
.
Escrevendo
e
em função de
:
Dividindo ambos por
e elevando ao quadrado:
Somando as duas igualdades e usando
obtemos a equação cartesiana
Multiplicando por
dá
Explicação didática: isso significa que todos os pontos
estão a uma distância
da origem — é um círculo de raio
centrado em
.
Passo 3
A equação
descreve o círculo inteiro. Para determinar qual porção do círculo corresponde ao intervalo de
dado, usamos a relação direta
.
Observação sobre o sinal de
: para
sabemos que
. Portanto
Conclusão: a parametrização corresponde ao semicírculo esquerdo do círculo de raio
, ou seja, àqueles pontos do círculo que satisfazem
e
.
Passo 4
Identificar os pontos iniciais e finais e verificar a orientação (direção de percurso) à medida que
aumenta.
Calculemos alguns valores-chave (pegando-os diretamente da parametrização):
- para
: . Ponto inicial . - para
: . Ponto médio . - para
: . Ponto final .
Assim, quando
aumenta de
para
a curva é percorrida do ponto
passando por
até
. Em palavras simples: o semicírculo esquerdo é traçado de cima para baixo.
(Sugestão alternativa para checar a orientação: a derivada
em
vale
, apontando para baixo no ponto
, o que confirma o sentido de cima para baixo.)
Passo 5
Instruções para o esboço (faça à mão no caderno seguindo estes passos):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem. - Desenhe um círculo centrado na origem com raio
. - Trace apenas a parte à esquerda do eixo
(o semicírculo com ). - Marque os pontos
, e . - Desenhe uma seta ao longo do semicírculo da parte superior
passando por e terminando em — esta seta indica o sentido em que a curva é traçada quando aumenta.
Dica amiga: imagina um ponteiro que começa no topo do círculo e vai descendo pela borda esquerda até o fundo — é exatamente isso que acontece com
aumentando.
Resposta
Semicírculo esquerdo do círculo de raio