Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
C é a reta 2 x-5 y+4 z-1=0.

Passo 1

O enunciado dá uma equação linear em três coordenadas e pede uma parametrização diferenciável da curva C:
  • Dado: a equação 2x-5y+4z-1=0.
  • Pedido: apresentar uma parametrização diferenciável para C, que é dita ser “a reta” definida por essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve as variáveis x, y e z.
  • Só foi dada uma única equação linear.

Passo 2

Primeiro ponto importante (geometria básica, sem pular etapas): uma única equação linear em três incógnitas
2x-5y+4z-1=0
define um plano em \mathbb{R}^3, não uma reta. Vou explicar por quê, devagarinho:
  • Em \mathbb{R}^2, uma equação linear única define tipicamente uma reta (por exemplo ax+by+c=0 em duas variáveis).
  • Em \mathbb{R}^3, para fixar uma reta precisamos normalmente de duas equações lineares independentes (cada equação impõe uma restrição; duas restrições independentes intersectam em geral numa reta). Uma única equação em \mathbb{R}^3 deixa um grau de liberdade a mais e o conjunto de soluções é um plano (duas dimensões de liberdade).
Portanto há uma inconsistência entre a frase “reta” e o fato de só termos uma equação. Não vou te encher de perguntas: vou tratar das duas interpretações úteis que aparecem na prova e que te servem na hora H.

Passo 3

Interpretação A — se o enunciado realmente quis o conjunto das soluções de
2x-5y+4z-1=0
(ou seja, o plano), então podemos dar uma parametrização diferenciável do plano, explicando como obter isso passo a passo.
Como resolver para parametrizar o plano:
  • Isolar uma variável em função das outras duas. Por exemplo, isole x:
2x = 1 + 5y - 4z \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1+5y-4z}{2}.
  • Agora escolha parâmetros livres para as duas variáveis restantes. É natural escolher y e z como parâmetros. Denote u:=y e v:=z. Então toda solução do plano pode ser escrita em função de u,v.
Passo a passo do cálculo:
x(u,v)=\frac{1+5u-4v}{2},\qquad y(u,v)=u,\qquad z(u,v)=v.
Transformando isso numa função vetor-paramétrica (parametrização do plano) fica
\mathbf{r}(u,v)=\left(\dfrac{1+5u-4v}{2},\,u,\,v\right),\qquad (u,v)\in\mathbb{R}^2.
Por que essa parametrização é diferenciável?
  • Cada coordenada de \mathbf{r}(u,v) é uma função linear em u e v. Funções lineares são suaves (infinitamente diferenciáveis). Logo \mathbf{r} é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
Também é útil ver a forma afim (vetorial) equivalente:
\mathbf{r}(u,v)=\left(\tfrac{1}{2},0,0\right)+u\left(\tfrac{5}{2},1,0\right)+v\left(-2,0,1\right).
Isto mostra que o plano é a soma do ponto base \left(\tfrac12,0,0\right) com o espaço gerado pelos vetores \left(\tfrac{5}{2},1,0\right) e \left(-2,0,1\right).

Passo 4

Interpretação B — se o enunciado realmente queria uma reta (interseção do plano dado com outro plano), então é necessário mais uma equação linear independente. Vou explicar o método geral e dar um exemplo concreto (útil na prova).
Método geral para parametrizar a interseção (reta) de dois planos:
  • Dadas duas equações lineares independentes
\begin{cases} 2x-5y+4z-1=0,\\[4pt] a x + b y + c z + d = 0, \end{cases}
resolve-se o sistema linear para duas variáveis em termos de uma terceira (o parâmetro t), obtendo x(t),y(t),z(t). O resultado é uma parametrização da forma
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\qquad t\in\mathbb{R},
cujo vetor direção é dado pela solução da parte homogênea (ou seja, vetor não-nulo perpendicular aos dois vetores normais dos planos).
Vou ilustrar com um exemplo simples (que é uma escolha típica quando falta a segunda equação): intersectar o plano dado com o plano y=0. Isso fornece uma reta contida no primeiro plano.]

Passo 5

Exemplo concreto (interseção com [y=0)) — cálculo passo a passo:
Comece com o sistema
\begin{cases} 2x-5y+4z-1=0,\\[4pt] y=0. \end{cases}
Substituindo y=0\] na primeira equação: \[2x + 4z -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x = 1 - 4z \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1-4z}{2}.\] Agora use o próprio \(z como parâmetro t. Assim
x(t)=\frac{1-4t}{2},\qquad y(t)=0,\qquad z(t)=t.
Portanto a parametrização da reta de interseção (entre o plano dado e y=0) é
\mathbf{r}(t)=\left(\dfrac{1-4t}{2},\,0,\,t\right)=\left(\tfrac12,0,0\right)+t(-2,0,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (importante em prova): o vetor direção (-2,0,1) é ortogonal ao vetor normal do plano (2,-5,4), porque
(2,-5,4)\cdot(-2,0,1) = 2\cdot(-2)+(-5)\cdot 0 + 4\cdot 1 = -4+0+4 = 0,
logo a reta está contida no plano — tudo coerente.
A coordenada x(t) é linear em t, então \mathbf{r}(t) é diferenciável (na verdade C^\infty).]

Passo 6

Resumo pedagógico e dica para a prova:
  • Se aparecer uma única equação linear em três variáveis, reconheça imediatamente que é um plano. Parametrize escolhendo duas variáveis livres e resolvendo a terceira.
  • Se pedirem uma reta e só derem uma equação, o examinador provavelmente omitiu a segunda equação; na hora da prova, pergunte (se possível) ou escolha uma interseção natural (como fixar uma coordenada) só se for permitido. Saber parametrizar o plano e também saber o procedimento para a interseção de dois planos cobre os dois cenários mais comuns.
  • Sempre verifique ortogonalidade do vetor direção com o vetor normal para conferir que a reta realmente está no plano.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(u,v)=\left(\dfrac{1+5u-4v}{2},\,u,\,v\right),\qquad (u,v)\in\mathbb{R}^2.\n
(Se o enunciado pretendia uma reta obtida impondo y=0 como segunda equação, uma parametrização possível é)\n
\displaystyle \mathbf{r}(t)=\left(\dfrac{1-4t}{2},\,0,\,t\right)=\left(\tfrac12,0,0\right)+t(-2,0,1),\qquad t\in\mathbb{R}.

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