Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
é a reta
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação linear em três coordenadas e pede uma parametrização diferenciável da curva
:
- Dado: a equação
. - Pedido: apresentar uma parametrização diferenciável para
, que é dita ser “a reta” definida por essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve as variáveis
, e . - Só foi dada uma única equação linear.
Passo 2
Primeiro ponto importante (geometria básica, sem pular etapas): uma única equação linear em três incógnitas
define um plano em
, não uma reta. Vou explicar por quê, devagarinho:
- Em
, uma equação linear única define tipicamente uma reta (por exemplo em duas variáveis). - Em
, para fixar uma reta precisamos normalmente de duas equações lineares independentes (cada equação impõe uma restrição; duas restrições independentes intersectam em geral numa reta). Uma única equação em deixa um grau de liberdade a mais e o conjunto de soluções é um plano (duas dimensões de liberdade).
Portanto há uma inconsistência entre a frase “reta” e o fato de só termos uma equação. Não vou te encher de perguntas: vou tratar das duas interpretações úteis que aparecem na prova e que te servem na hora H.
Passo 3
Interpretação A — se o enunciado realmente quis o conjunto das soluções de
(ou seja, o plano), então podemos dar uma parametrização diferenciável do plano, explicando como obter isso passo a passo.
Como resolver para parametrizar o plano:
- Isolar uma variável em função das outras duas. Por exemplo, isole
:
- Agora escolha parâmetros livres para as duas variáveis restantes. É natural escolher
e como parâmetros. Denote e . Então toda solução do plano pode ser escrita em função de .
Passo a passo do cálculo:
Transformando isso numa função vetor-paramétrica (parametrização do plano) fica
Por que essa parametrização é diferenciável?
- Cada coordenada de
é uma função linear em e . Funções lineares são suaves (infinitamente diferenciáveis). Logo é diferenciável em todo .
Também é útil ver a forma afim (vetorial) equivalente:
Isto mostra que o plano é a soma do ponto base
com o espaço gerado pelos vetores
e
.
Passo 4
Interpretação B — se o enunciado realmente queria uma reta (interseção do plano dado com outro plano), então é necessário mais uma equação linear independente. Vou explicar o método geral e dar um exemplo concreto (útil na prova).
Método geral para parametrizar a interseção (reta) de dois planos:
- Dadas duas equações lineares independentes
resolve-se o sistema linear para duas variáveis em termos de uma terceira (o parâmetro
), obtendo
. O resultado é uma parametrização da forma
cujo vetor direção é dado pela solução da parte homogênea (ou seja, vetor não-nulo perpendicular aos dois vetores normais dos planos).
Vou ilustrar com um exemplo simples (que é uma escolha típica quando falta a segunda equação): intersectar o plano dado com o plano
. Isso fornece uma reta contida no primeiro plano.]
Passo 5
Exemplo concreto (interseção com [y=0)) — cálculo passo a passo:
Comece com o sistema
Substituindo
como parâmetro
. Assim
Portanto a parametrização da reta de interseção (entre o plano dado e
) é
Verificação rápida (importante em prova): o vetor direção
é ortogonal ao vetor normal do plano
, porque
logo a reta está contida no plano — tudo coerente.
A coordenada
é linear em
, então
é diferenciável (na verdade
).]
Passo 6
Resumo pedagógico e dica para a prova:
- Se aparecer uma única equação linear em três variáveis, reconheça imediatamente que é um plano. Parametrize escolhendo duas variáveis livres e resolvendo a terceira.
- Se pedirem uma reta e só derem uma equação, o examinador provavelmente omitiu a segunda equação; na hora da prova, pergunte (se possível) ou escolha uma interseção natural (como fixar uma coordenada) só se for permitido. Saber parametrizar o plano e também saber o procedimento para a interseção de dois planos cobre os dois cenários mais comuns.
- Sempre verifique ortogonalidade do vetor direção com o vetor normal para conferir que a reta realmente está no plano.
Resposta
(Se o enunciado pretendia uma reta obtida impondo