(Parametrização por comprimento de arco) Para cada uma das curvas abaixo, determine a parametrização em função do comprimento de arco
, medido a partir do ponto indicado.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
com a condição
Pede-se uma parametrização por comprimento de arco
, medida “a partir do ponto indicado”. Como o enunciado não trouxe figura, vou adotar a escolha natural que costuma ser usada nesses exercícios: o ponto de referência é
(ou seja,
corresponde a
). Assim a tarefa é achar
escrita em função de
, com
em
.
Passo 2
Conceito-chave (explicadinho): a parametrização por comprimento de arco significa reescrever a curva com a variável
tal que
mede a distância percorrida ao longo da curva desde o ponto inicial. Matematicamente, se
é a parametrização original e a velocidade
for positiva, o comprimento de arco desde
até
é
Se
for constante (independente de
), então
com
essa constante, o que facilita muito: basta inverter
e substituir na
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
. Derivando componente a componente:
Aqui cada derivada foi feita com a regra básica:
,
, e
.
Passo 4
Agora a velocidade (norma da derivada):
Observe que
, por isso o valor não depende de
: a velocidade é constante. Denotemos essa constante por
Comentário amigo: isto significa que a curva é uma hélice com velocidade escalar constante — ótimo, porque reparametrizar por comprimento de arco fica fácil.
Passo 5
Como a velocidade é constante, o comprimento de arco desde
até
é simplesmente
Como escolhemos
em
, essa fórmula é coerente. Invertendo:
Isso é o passo prático-chave: trocar a variável
por
.
Passo 6
Substituímos
em
para obter a parametrização por comprimento de arco:
Lembrete:
é o número já definido em termos de
:
Passo 7
Resumo interpretativo (pequena revisão para a prova): a sequência prática para reparametrar por comprimento de arco é
- calcular
e ; - se
for constante , então (com escolha de origem ) e ; - substituir
em .
Aqui tudo funcionou direitinho porque a velocidade é constante.