(Parametrização por comprimento de arco) Para cada uma das curvas abaixo, determine a parametrização em função do comprimento de arco s, medido a partir do ponto indicado.
\vec{r}(t)=\left(a \cos t, a s e n t, \frac{b}{c} t\right), \quad t \in \mathbb{R}, \quad \operatorname{com} c^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\vec{r}(t)=\bigl(a\cos t,\;a\operatorname{sen} t,\;\tfrac{b}{c}\,t\bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
com a condição \,c^{2}=a^{2}+b^{2}.\, Pede-se uma parametrização por comprimento de arco s, medida “a partir do ponto indicado”. Como o enunciado não trouxe figura, vou adotar a escolha natural que costuma ser usada nesses exercícios: o ponto de referência é t=0 (ou seja, s=0 corresponde a t=0). Assim a tarefa é achar \vec{r} escrita em função de s, com s=0 em t=0.

Passo 2

Conceito-chave (explicadinho): a parametrização por comprimento de arco significa reescrever a curva com a variável s tal que s mede a distância percorrida ao longo da curva desde o ponto inicial. Matematicamente, se \vec{r}(t) é a parametrização original e a velocidade |\vec{r}\,'(t)| for positiva, o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t} |\vec{r}\,'(u)|\,du.
Se |\vec{r}\,'(t)| for constante (independente de t), então s(t)=v\,t com v essa constante, o que facilita muito: basta inverter t=s/v e substituir na \vec{r}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada \vec{r}\,'(t). Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-a\operatorname{sen} t,\;a\cos t,\;\tfrac{b}{c}\bigr).
Aqui cada derivada foi feita com a regra básica: \frac{d}{dt}\cos t=-\operatorname{sen} t, \frac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\cos t, e \frac{d}{dt}\bigl(\tfrac{b}{c}t\bigr)=\tfrac{b}{c}.

Passo 4

Agora a velocidade (norma da derivada):
|\vec{r}\,'(t)|=\sqrt{(-a\operatorname{sen} t)^{2}+(a\cos t)^{2}+\Bigl(\tfrac{b}{c}\Bigr)^{2}} =\sqrt{a^{2}(\operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t)+\tfrac{b^{2}}{c^{2}}} =\sqrt{a^{2}+\tfrac{b^{2}}{c^{2}}}.
Observe que \operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t=1, por isso o valor não depende de t: a velocidade é constante. Denotemos essa constante por
v:=\sqrt{a^{2}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}}.
Comentário amigo: isto significa que a curva é uma hélice com velocidade escalar constante — ótimo, porque reparametrizar por comprimento de arco fica fácil.

Passo 5

Como a velocidade é constante, o comprimento de arco desde t=0 até t é simplesmente
s(t)=\int_{0}^{t} v\,du = v\,t.
Como escolhemos s=0 em t=0, essa fórmula é coerente. Invertendo:
t=\dfrac{s}{v}.
Isso é o passo prático-chave: trocar a variável t por s/v.

Passo 6

Substituímos t=s/v em \vec{r}(t) para obter a parametrização por comprimento de arco:
\vec{r}(s)=\vec{r}\!\Bigl(\dfrac{s}{v}\Bigr) =\Bigl(a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\;a\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\;\tfrac{b}{c}\cdot\dfrac{s}{v}\Bigr).
Lembrete: v é o número já definido em termos de a,b,c:
v=\sqrt{a^{2}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}}.

Passo 7

Resumo interpretativo (pequena revisão para a prova): a sequência prática para reparametrar por comprimento de arco é
  • calcular \vec{r}\,'(t) e v(t)=|\vec{r}\,'(t)|;
  • se v(t) for constante v, então s=v t (com escolha de origem s(0)=0) e t=s/v;
  • substituir t=s/v em \vec{r}(t).
Aqui tudo funcionou direitinho porque a velocidade é constante.

Resposta

\vec{r}(s)=\Bigl(a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\;a\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{s}{v}\bigr),\;\tfrac{b}{c}\cdot\dfrac{s}{v}\Bigr), \qquad\text{onde}\qquad v=\sqrt{a^{2}+\dfrac{b^{2}}{c^{2}}}.

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