determine as
equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de \mathbf{r}(t) no ponto onde t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=e^{2 t} \mathbf{i}-2 \cos 3 t \mathbf{j} ; t_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função vetor \mathbf{r}(t)=e^{2t}\,\mathbf{i}-2\cos(3t)\,\mathbf{j}
no ponto em que t=0.
Para isso vamos precisar de dois ingredientes: o ponto de tangência \mathbf{r}(0) e o vetor direção dado por \mathbf{r}'(0).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência \mathbf{r}(0).
\mathbf{r}(0) = e^{2\cdot 0}\,\mathbf{i} \;-\;2\cos(3\cdot 0)\,\mathbf{j} = 1\,\mathbf{i} \;-\;2\,\mathbf{j}.

Passo 3

Derivar \mathbf{r}(t) para obter o vetor tangente em geral:
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)\,\mathbf{i} + \frac{d}{dt}\bigl(-2\cos(3t)\bigr)\,\mathbf{j} = 2e^{2t}\,\mathbf{i} \;+\;6\sin(3t)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t=0:
\mathbf{r}'(0) = 2e^{0}\,\mathbf{i} + 6\sin(0)\,\mathbf{j} = 2\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} = 2\,\mathbf{i}.

Passo 5

Escrever a reta tangente em forma paramétrica. Seja s o parâmetro da reta, então
\mathbf{L}(s) = \mathbf{r}(0) + s\,\mathbf{r}'(0) = \bigl(1,-2\bigr) + s\,(2,0).
Isso gera as equações paramétricas
x = 1 + 2s, \quad y = -2.

Resposta

x = 1 + 2s,\quad y = -2.

Exercícios relacionados