Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida por
no ponto específico
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a superfície dada é uma função implícita de três variáveis:
. O plano tangente a essa superfície no ponto
pode ser encontrado usando as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avalie essas derivadas no ponto dado
:
Passo 5
Agora, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar ainda mais:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 7
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos de um ponto de passagem e de um vetor diretor. O ponto é
e o vetor normal ao plano, que é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano tangente, é
.
Passo 8
A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita como:
Onde
são os componentes do vetor diretor
. Então, substituindo:
Resposta
A equação do plano tangente é
e a equação paramétrica da reta normal é: