Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. x^3 + y^3 + z^3 = 10 em (1, 1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a superfície dada é uma função implícita de três variáveis: . O plano tangente a essa superfície no ponto pode ser encontrado usando as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Avalie essas derivadas no ponto dado :

Passo 5

Agora, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar ainda mais:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 7

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos de um ponto de passagem e de um vetor diretor. O ponto é e o vetor normal ao plano, que é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano tangente, é .

Passo 8

A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita como:
Onde são os componentes do vetor diretor . Então, substituindo:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

Exercícios relacionados