Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado pede as retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: para achar a reta tangente, precisamos da derivada para obter seu coeficiente angular no ponto; para a reta normal, usamos a reta perpendicular à tangente, cujo coeficiente angular é o negativo do recíproco do coeficiente da tangente.
O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: para achar a reta tangente, precisamos da derivada
Passo 2
Calculamos a imagem de
para encontrar o ponto de tangência:
Portanto, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Determinamos a derivada de
para obter o coeficiente angular da tangente:
No ponto
,
Passo 4
Escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Simplificando,
Passo 5
O coeficiente angular da reta normal é o negativo do recíproco de
, isto é,
Usando novamente a forma ponto-inclinação no ponto
,
Simplificando,
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: