Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f(x)=2 x^{3}+3 x-1 no ponto de abscissa x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal ao gráfico da função
f(x) = 2x^{3} + 3x - 1
no ponto de abscissa x_{0} = 1.
O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: para achar a reta tangente, precisamos da derivada f'(x) para obter seu coeficiente angular no ponto; para a reta normal, usamos a reta perpendicular à tangente, cujo coeficiente angular é o negativo do recíproco do coeficiente da tangente.

Passo 2

Calculamos a imagem de x_{0} para encontrar o ponto de tangência:
f(1) = 2\cdot1^{3} + 3\cdot1 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4.
Portanto, o ponto de interesse é \bigl(1,4\bigr).

Passo 3

Determinamos a derivada de f para obter o coeficiente angular da tangente:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x^{3} + 3x - 1\bigr) = 6x^{2} + 3.
No ponto x=1,
m_{\text{tang}} = f'(1) = 6\cdot1^{2} + 3 = 9.

Passo 4

Escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y - 4 = 9\,(x - 1).
Simplificando,
y = 9x - 9 + 4 = 9x - 5.

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do recíproco de m_{\text{tang}}, isto é,
m_{\text{norm}} = -\frac{1}{9}.
Usando novamente a forma ponto-inclinação no ponto (1,4),
y - 4 = -\tfrac{1}{9}\,(x - 1).
Simplificando,
y = -\tfrac{1}{9}x + \tfrac{1}{9} + 4 = -\tfrac{1}{9}x + \tfrac{37}{9}.

Resposta

Reta tangente: y = 9x - 5
Reta normal: y = -\tfrac{1}{9}x + \tfrac{37}{9}

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