Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x)=x^{3}+2 x^{2}-14 x nos quais a reta tangente é:
(a) horizontal
(b) paralela a reta 2 y+8 x-5=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}+2x^{2}-14x
e pede as abscissas dos pontos onde a reta tangente a f é
(a) horizontal e
(b) paralela à reta 2y+8x-5=0.
O conteúdo essencial aqui é o cálculo da derivada f'(x), pois a inclinação da reta tangente em x é exatamente f'(x).

Passo 2

Calcular a derivada de f.
Como
f(x)=x^{3}+2x^{2}-14x,
usamos a regra do poder e da soma para obter
f'(x)=3x^{2}+4x-14.

Passo 3

Determinar onde a reta tangente é horizontal.
Uma reta é horizontal quando sua inclinação é zero, ou seja, f'(x)=0. Logo resolvemos
3x^{2}+4x-14=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot3\cdot(-14)=16+168=184=4\cdot46,
então
x=\frac{-4\pm\sqrt{184}}{2\cdot3} =\frac{-4\pm2\sqrt{46}}{6} =\frac{-2\pm\sqrt{46}}{3}.

Passo 4

Determinar onde a reta tangente é paralela à reta 2y+8x-5=0.
Primeiro, escrevemos essa reta em forma explícita:
2y=-8x+5 \quad\Longrightarrow\quad y=-4x+\frac{5}{2},
logo o coeficiente angular é m=-4.
Precisamos de f'(x)=-4, isto é,
3x^{2}+4x-14=-4 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}+4x-10=0.
De novo, pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot3\cdot(-10)=16+120=136=4\cdot34,
então
x=\frac{-4\pm\sqrt{136}}{6} =\frac{-4\pm2\sqrt{34}}{6} =\frac{-2\pm\sqrt{34}}{3}.

Resposta

(a) As abscissas onde a tangente é horizontal são
x=\frac{-2+\sqrt{46}}{3} \quad\text{e}\quad x=\frac{-2-\sqrt{46}}{3}.
(b) As abscissas onde a tangente é paralela a 2y+8x-5=0 são
x=\frac{-2+\sqrt{34}}{3} \quad\text{e}\quad x=\frac{-2-\sqrt{34}}{3}.

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